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Opérations sur les matrices

Dans cet exercice, nous cherchons à trouver l'ensemble des matrices B qui commutent avec une matrice A donnée. Pour cela, nous observons que la matrice A peut être écrite comme la somme de deux matrices : A fois I2 (matrice identité) et B fois une matrice N (matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale). Cette matrice N est très utile et apparaît souvent dans ce type de problèmes.

En simplifiant le problème en utilisant cette écriture, nous obtenons AB = BA si et seulement si NB = BN. Cette équation plus simple nous permet de trouver une structure pour la matrice B : elle s'écrit sous la forme d'un réel fois I2 plus un réel fois N. Ainsi, l'ensemble des matrices qui commutent avec A peuvent également être écrites de cette manière.

Il est important de remarquer que cette méthode est plus efficace et rapide que d'autres approches plus lourdes pour résoudre ce type d'exercice. Il est également recommandé de retenir certaines matrices clés, comme la matrice N, qui apparaissent fréquemment et facilitent les calculs.

N'hésitez pas à poser des questions et restez à l'affût des prochaines vidéos.

Dans cet exercice très intéressant on va voir comment être le plus optimal et le plus efficace quand on a un problème avec des matrices. Donc il y a toujours des manières très très lourdes de faire les exos et des manières un peu plus élégantes, un peu plus rapides, un peu plus efficaces. Donc on vous dit soit A et B des réels non nuls avec une matrice A qui est triangulaire supérieure, je dis ça parce qu'il y a un 0 ici sous la diagonale, une diagonale avec que des A et un petit b ici. Trouvez l'ensemble des matrices B qui commutent avec A, c'est à dire qui vérifient grand A fois grand B égal grand B fois grand A. On pose grand B égal x, y, z, t avec x, y, z, t, quatre différents réels. Quand je dis petit terme ne serons pas bourrins c'est pour vous montrer en gros une technique avant de commencer à faire c'est à dire, pas bourrins, c'est à dire avant de commencer à faire grand A fois grand B et grand B fois grand A et dénoncifier, ce qui serait comment dire, une méthode qui fonctionne, je vais un petit peu analyser A. J'ai remarqué que A peut s'écrire comme la somme de deux matrices très intéressantes, c'est à dire A fois I2, donc A fois l'identité pour la diagonale, plus B fois une matrice très simple avec un unique 1 que j'appelle N. Cette matrice N il faudra la retenir parce que même en dimension N, cette matrice en gros qui a uniquement des 0 qui est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale au dessus des 0 et des 0 ailleurs, bon alors ici forcément en 2,2 il n'y a qu'un seul 1, elle va être utile et elle va apparaître dans beaucoup beaucoup de problèmes de sup et de sp. Donc en gros si j'écris ça comme ça, AI2 plus BN, je vais pouvoir vachement simplifier mon problème, vous allez voir pourquoi. Donc je simplifie le problème, j'écris AB égal BA mais en écrivant A avec cette écriture justement de I2 et de N. Je remarque ici juste que le N en l'occurrence c'est dans la dimension 2, c'est il se trouve une matrice de la base de l'espace des matrices. On simplifie le problème, on écrit AB égal BA, on voit ce que ça donne. Ca me fait AI2 plus BN fois B égal B fois AI2 plus BN et en fait comme I2 est l'identité, elle commute avec B et donc de chaque côté je vais avoir A fois B qui va être commun. Alors A fois B ça va dégager et ce qui est intéressant c'est qu'en fait pour peu que b soit différent de 0, si b égal à 0 c'est pas très intéressant, je suppose partout que b est différent de 0, si b égal à 0 en fait A c'est la matrice d'identité à une constante près, ça sera A fois I donc elle va commuter avec tout et la réponse ça sera B, c'est l'ensemble des matrices. Pour b différent de 0 je peux donc simplifier et obtenir que AB égal BA, si et seulement si, NB égal BN. Vous allez me dire ok mais tu as juste décalé le problème. En effet je l'ai décalé, l'avantage ici c'est qu'au lieu de me faire un système entre cette matrice et celle ci, je me fais un système beaucoup plus simple entre la matrice B qui est inconnue et la matrice N qui a que des 0 et un 1. Beaucoup plus simple de gérer un produit avec N qu'un produit avec A. A n'est pas ultra compliqué mais elle est quand même beaucoup plus complexe que N. C'est pour ça que ça vaut le coup d'observer et de ne pas partir comme un groupe brun parce qu'on peut gagner beaucoup de temps en calcul. L'étape d'après, je vous ai fait les calculs de chaque côté, j'obtiens ça ZT00 égal 0X0Z. De ça j'obtiens différentes équations, différentes règles. Je trouve que Z égal 0, en regardant ici je trouve que T égal X et je trouve que Z égal 0. Donc en gros j'obtiens Z égal 0, X égal T, ce qui me donne une structure pour la matrice B. Je remplace Z égal 0 et X égal T dans l'écriture de B et j'obtiens XY 0X. J'obtiens que B elle-même s'écrit x fois I2 plus Y fois N. Donc cette matrice A qui s'écrit AI2 plus BN, c'est intéressant, l'ensemble des matrices qui commutent avec elle s'écrivent aussi sous la forme un réel fois I2 plus un réel fois N. Voilà, c'est tout pour cet exercice. Donc vous pouvez le faire quand même pour un, mais des fois ça vous le coûte d'être raffiné. Je pense qu'il y a quelques matrices à connaître, notamment cette matrice N qui reviennent très très souvent et qui valent le coup d'être connues, d'être reconnaissables par vous, d'être bien retenues à prise par cœur. Voilà, posez des questions et je vous retrouve pour une prochaine vidéo.

Commutant

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