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Puissance de matrices

Le cours porte sur le calcul de puissances de matrices et l'importance de trouver l'intuition rapidement. L'exemple donné est de calculer A puissance N et B puissance N. Il est recommandé de commencer par calculer les petites puissances pour avoir une idée du résultat. En utilisant la récurrence, on peut déduire que A puissance N est égal à 2 puissance N moins 1 fois A. Pour B, on fait également le même processus et on remarque que le coefficient est proche de 2 puissance N moins 1. On initie le calcul avec B puissance N plus 1 égal B puissance N fois B et cela fonctionne. Il est possible d'essayer différentes hypothèses jusqu'à ce que la récurrence fonctionne. En conclusion, il est important de trouver l'intuition rapidement et de faire des essais par à-coups pour résoudre des problèmes mathématiques.

L'exercice intéressant, ce qui va faire la différence ici, c'est si vous avez réussi à trouver l'intuition rapidement. Par exemple, on vous donne deux matrices, on vous dit calculez A puissance N, B puissance N. Je pense que même sans instruction, le premier réflexe à avoir, c'est de calculer A carré, A cube, les petites puissances, pour commencer à avoir l'intuition du résultat. Ici on vous le donne, c'est la démarche. Rappelez-vous surtout que le truc important, c'est de faire ça spontanément, tout seul, même si on ne vous le demande pas. On vous file un exemple, on vous dit calculez A puissance N, si vous ne l'avez pas tout de suite, en tout cas en général, cherchez les petites puissances, puis faites une récurrence. Alors A carré on calcule, ça fait 2-2-2, ça fait exactement 2A. J'en déduis très vite que A cube, ça sera donc 2A carré fois A, donc A carré c'est 2A, donc ça fera 2A au carré, donc ça fera 2 fois 2A, et ça fera donc 2 puissance 2 fois A. Ok, j'ai A carré qui fait 2 fois A, j'ai A cube qui fait 2 puissance 2 fois A. Qu'est-ce que je me dis ? Récurrence, A puissance N ça va être 2 puissance N moins 1 fois A. Faites la récurrence, c'est trivial, ça fonctionne. Voilà, très rapide. Grand B, on fait la même chose, grand B au carré. Grand B au carré, je calcule. Je trouve, alors là c'est un peu plus compliqué que l'exemple de A, je trouve 1-3-0-2 au carré. Je vois qu'il y a 2 fois 2 donc je mets 2 au carré. B cube je trouve. 1-7-0-2 au cube. Je me dis que là clairement j'ai du 2 puissance N sur ce coefficient. Ce coefficient là je suis pas loin de 2 puissance N, je suis à 2 puissance N mais moins 1 en fait. 2 puissance N moins 1, ça me donne envie de faire cette hypothèse là. Initialisation, c'est ok. Hérédité, j'écris B puissance N plus 1 égal B puissance N fois B, ça me fait le calcul suivant. Je fais le calcul, hop, ça fonctionne. J'obtiens ce truc là. Ça marche, voilà. Donc là en fait c'est plus aller tâter l'intuition avec 2 et 3 et tenter un truc. Au début il est possible que vous trouviez autre chose comme hypothèse, une hypothèse qui fonctionne. Par exemple ici ça pourrait être 2 fois 1 plus 1, donc un nombre impair. Là c'est un autre nombre impair qui serait 2 fois 3 plus 1. Vous pouvez tenter un truc comme ça. Mais voilà, vu que ça monte de 3 à 7, c'était plus facile avec une puissance. En tout cas, si vous essayez par récurrence et que ça ne marche pas, c'est que vous n'avez pas la bonne hypothèse. Donc ça vaut le coup de réessayer et d'aller chercher par à-coups petit à petit. Posez-moi des questions si vous en avez et je vous retrouve dans une prochaine vidéo pour une prochaine méthode.

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