Home

MPSI/PCSI

Maths

Algèbre

Puissance de matrices

Ce cours traite de la matrice N, une matrice nilpotente qui finit par s'annuler quand on la monte en puissance. Cette matrice est très importante et intervient dans de nombreux exercices en mathématiques. En la montant en puissance, la diagonale de 1 se déplace jusqu'à disparaître complètement. Cette propriété est valable pour toute dimension de la matrice N. On peut utiliser cette matrice dans des calculs en utilisant le binôme de Newton, en sachant que les termes où B a une puissance supérieure à 3 sont nuls. On peut exprimer cette formule sous forme matricielle en remplaçant les puissances par des matrices N. En résumé, il est important de connaître cette matrice nilpotente dans le domaine des mathématiques.

ultra classique à connaître par coeur. J'ai déjà évoqué la matrice dont on va parler aujourd'hui dans d'autres exercices absolument ultra classique donc connaître cette matrice. La matrice N qui est nulle partout sauf sur la diagonale juste au dessus de la diagonale de 0 est très importante. C'est une matrice nilpotente qui finit par s'annuler quand on la monte en puissance et elle intervient dans beaucoup beaucoup d'exercices donc il faut la connaître comme classique vraiment de base. Donc on a N qui est comme ça. N² en fait qu'est ce qui se passe ? Cette matrice nilpotente en fait ce qui se passe c'est qu'on la monte en puissance, la diagonale de 1 se déplace. Donc là hop elle monte ici le prochain coup où elle se déplace en fait elle disparaît et la matrice N³ est égale à 0. Si on la prend en taille N ça sera la même chose. J'ai plein de 1 ici, des 0 puis elle va monter ensuite là, là, là, elle va monter petit à petit jusqu'à arriver à une matrice où il n'y a plus qu'un seul 1 l'étape d'après elle sera égale à 0. Bon ça marche pas que en dimension 3 ça marche en toute dimension pour cette matrice là qu'on appelle N. Donc je suis pas trop les écritures B machin Mon point c'est d'utiliser cette matrice N parce qu'il me semble qu'elle s'appelle N dans pas mal d'exo-classiques, N pour nilpotente. Alors ici N c'est B donc si je l'écris A puissance N c'est quoi ? C'est I plus B puissance N Oui c'est I plus B donc. C'est celle que j'appelais N puissance N. Comme B et I commutent, parce que tout commute avec I, je peux utiliser le binôme de Newton sans aucun problème. Binôme de Newton, j'obtiens Cette formule là. Or je sais que B puissance K à un moment va devenir nulle. En gros il y aura B, il y aura B carré mais à partir de B cube ça sera 0 donc B4, B5, B6 ça sera 0 aussi. Donc cette somme est en fait composée de beaucoup beaucoup de termes nuls. Les seuls termes non nuls sont ceux où B a une puissance inférieure stricte à 3. Donc puissance 0, 1, 2, c'est fini. Et donc je peux remplir un peu ça, remplacer les 1 parmi N, 2 parmi N, j'obtiens ce truc là. Si vous voulez l'écrire sur la forme d'une matrice, on pourrait s'arrêter là honnêtement, si on veut l'écrire sur la forme d'une matrice, on écrit ça comme ça, on sait que B c'est juste une diagonale, donc on met des N dessus. B carré c'est le dernier terme là-haut, on multiplie par N-1 sur 2, on obtient ça. Voilà, ultra classique, on balance un petit un petit binôme de Newton mais surtout on reconnaît cette matrice népotente qui va tomber dans beaucoup beaucoup d'exercices. Donc voilà, j'espère que c'était clair pour vous. Posez-moi des questions s'il y a besoin et je vous retrouve sinon dans une prochaine vidéo. Bye bye !

Puissance nième binome Newton

RELATED

Recommended videos

Puissance nième réccurence

Puissance nième Polynome annulateur

Nos années

Nos principales matières