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Puissance nième Polynome annulateur
Dans ce cours, on étudie la division euclidienne du polynôme x^n par le polynôme x^2 - 3x + 2. Pour calculer le polynôme reste R2x, on utilise les racines x=1 et x=2 du polynôme diviseur pour éliminer le terme Q2x dans l'équation. On obtient ainsi le polynôme reste R2x qui est de degré 1 et peut s'écrire sous la forme AX + B. En résolvant les équations, on trouve que B=2^n et A=2^n-1. Le polynôme reste R2x peut donc s'écrire comme 2^n-1 * (x-2) + 2^n.
Ensuite, on applique cette structure polynomiale à une matrice A. En remarquant que A^2 - 3A + 2I = 0, on déduit que A^n = R2A. Ainsi, on peut calculer A^n en utilisant le polynôme reste R2A qui s'écrit comme 2^n-1 * (A-2I) + 2^n * I.
