Home

MPSI/PCSI

Maths

Algèbre

Matrices applications linéaires 

Dans cet exercice, on étudie les applications linéaires dans le contexte des matrices. Pour déterminer la matrice d'une application linéaire de R2 dans R2, on peut observer ce que l'application fait aux vecteurs de la base choisie. 

Pour trouver la matrice, on peut soit calculer f(1, 0) et f(0, 1) et les écrire dans une colonne, soit séparer les composantes x et y d'un vecteur quelconque (x, y) et écrire l'application linéaire en colonne. 

Ensuite, on peut combiner les applications linéaires en combinant les matrices correspondantes. 

Il est important de noter que la multiplication des matrices ne commute pas en général, c'est-à-dire que AB n'est pas forcément égal à BA. 

En effectuant les calculs, on trouve les matrices correspondantes pour S plus T, S rond T, T rond S et S rond S. 

Cette application pratique permet de lier les applications linéaires aux matrices.

Dans cet exercice, on va attaquer une application directe de la vision des applications linéaires grâce aux matrices. Donc comme vous savez, on peut voir les applications linéaires dans des matrices en regardant ce que font les applications linéaires aux vecteurs des bases qu'on a choisi pour les espaces ici. Donc on a des endomorphismes de R2, donc on est sur des applications de R2 dans R2, déterminer les matrices. Donc pour moi le plus facile, en fait, une matrice par définition, dans le cours, on sait que si j'ai en dimension 2, pour du R2 dans R2, si j'ai comme base i et j, je vais observer ma colonne 1 qui est f de i et qui se décompose en deux composantes elles-mêmes. f de i ça fait 3i, 3i plus 5j, et f de j qui peut être 5i plus 7j. Donc j'écris la première colonne f de i, la deuxième colonne f de j, et j'ai ici le nombre de fois i et le nombre de fois j. Bon, ça y est, c'est tout bête. Donc on peut calculer à chaque fois f de 1, 0 et f de 0, 1. Ou bien on peut faire un peu quelque chose que je fais souvent en algebra binaire, c'est écrire pour un vecteur x, y quelconque, parce qu'en fait c'est ce qui est fait dans la définition, écrire bien en colonne la définition d'un endomorphisme comme ça, et séparer x et y. Donc j'explique pourquoi quand je fais ça, je vois qu'il y a des x ici, des y ici, ça me fait s de x, y, il y a x fois 2 moins 3 plus y fois moins 5, 4. Faire ça, en fait, c'est un peu l'équivalent de calculer s de 1, 0 et s de 0, 1. Pourquoi ? Parce qu'en fait quand on sépare comme ça, ce qu'on fait c'est faire apparaître s de 1, 0 ici, et s de 0, 1 ici. Pour être sûr que vous comprenez bien, dites vous que je suis en train, si je fais s de 1, 0, je remplace x par 1, y par 0, x par 1, y par 0, et j'obtiens ce truc là. De même pour s de 0, 1. Donc en fait, en sortant le x et le y, en les séparant par linearité à chaque fois qu'on fait ça comme opération, ce qu'on fait c'est faire apparaître indirectement les deux s de 1, 0 et s de 0, 1. Donc c'est plutôt pratique. C'est sympa parce que ça nous donne en fait accès à la matrice tout de suite, la matrice, et donc 2 moins 3 moins 5, 4. Si vous voulez, ça revient, c'est exactement pareil que, c'est vraiment l'équivalent, qu'écrire ok, repérer les coefficients 2, moins 5, moins 3, 4, et donc écrire tout de suite la matrice x, y en produits matriciels. Ça fait bien 2x, moins 5y, moins 3x, plus 4y. Ça revient au même. Donc soit vous sortez la matrice directement, on la voit en fait là, et qui est écrite, moins 5, 4, soit vous la trouvez en ayant séparé les deux colonnes. Donc vu que la matrice c'est la concaténation, donc on colle ensemble les deux colonnes de s de 1, 0 et s de 0, 1. On peut le faire d'une manière. Tout de suite, je trouve la matrice de s. De même, la matrice de t. Donc si vous avez compris l'idée, t c'est moins 8, c'est quoi déjà ? moins 8y, 7x, plus y, donc ça fait x fois 0, 7, plus y fois moins 8, 1. Je trouve tout de suite 0, 7, moins 8, 1. Si vous voulez, c'est 0, x, moins 8, y, donc ça fait 0, moins 8, 7, 1. On la trouve tout de suite. Après, ce ne sont qu'eux. Donc ça c'est comment détecter. J'espère que les deux méthodes que je vous ai montrées, soit détecter tout de suite les coefficients, soit bien sortir le x et le y pour avoir les deux colonnes qui apparaissent. Pour moi, c'est les manières les plus visuelles de voir. C'est toujours plus simple quand c'est visuel. Ça ensuite, c'est la base. La deuxième question, c'est comment ensuite combiner des applications linéaires, mais comment combiner leur matrice ? En fait, les applications linéaires et leur matrice, il suffit de faire les opérations de matrice équivalente. S plus T, on va faire matrice de S plus matrice de T. S rond T, on va faire matrice de S fois matrice de T en utilisant le fois des matrices, c'est-à-dire la multiplication matricielle. T rond S, c'est pareil dans l'autre sens. Attention, S fois T, enfin matrice de S fois matrice de T n'est pas nécessairement égale à matrice de T fois matrice de S. Il n'y a pas de commutativité. Les matrices ne commutent pas par défaut. Certaines matrices commutent, mais pas toutes. Donc 7 fois 3 égale 3 fois 7, dans les nombres réels, mais ce n'est pas toujours vrai. Grand A fois grand B, pour les matrices, n'est pas nécessairement égale à grand B fois grand A. Il y a des cas où ça arrive, mais ce n'est pas par défaut. On va regarder un petit peu, j'en ai fait plusieurs. S plus T de X, Y. En fait, on peut écrire ça comme ça. Ça fait 2X montre 13Y, 4X plus 5Y. Pourquoi ? Parce que j'ai fait S de Y plus T de Y. J'ai fait ce truc-là, cette colonne plus celle-ci, si vous voulez. Donc ça fait ça, plus ça. Ça fait donc 2X moins 13Y, ça, plus ça. Je me rends compte du S plus T de Y. Ça donne ça. C'est comme ça que je détermine les applications linéaires. Pour moi, c'est un peu particulier, mais c'est soit j'écris S plus T d'un vecteur quelconque, ce qui me donne ça. Voilà, j'ai déterminé. Soit je vous donne les deux vecteurs, ce que ça fait sur la base, donc 1, 0, 0, 1, ce qui revient à donner la matrice. Donc là, en fait, en faisant ça, je vous donne les deux, l'application linéaire et la matrice qui va avec. De la même manière, on a S rond T. C'est S de T de XY. Le rond, c'est ça. Je peux l'appliquer ici, je fais le calcul. Qu'est-ce que ça fait de faire S de T ? C'est-à-dire que je prends 2 fois X moins 5 fois Y, donc je prends 2 fois moins 8Y, moins 5 fois ça, 7X plus Y, etc. J'applique ce que fait S à ce vecteur. Ça me donne plein de calculs. Je vous laisse les détails si vous voulez regarder. Et je trouve à la fin ce truc-là. J'ai remarqué qu'il y a du 35, du 21, du 28, du 28, donc j'ai mis 7 en facteur. J'obtiens la matrice de S rond T qui est 7 fois tout ça. Le 7, j'ai sorti pour faire un truc plus élégant, c'est pas nécessaire. T rond S, c'est pareil. On fait les calculs de T appliqués à ce vecteur-là, qui est S de XY. Je vois ce que ça fait, ça me fait 24, 32, 11, 31. Je remarque que la matrice de S rond T n'est pas la même que la matrice de T rond S, confirmant le fait que ça ne commute pas nécessairement. Donc j'ai ça et ça qui sont différents. S rond S, c'est juste appliquer l'application linéaire S au vecteur S de XY et on trouve la matrice ici. C'est calculatoire, c'est moche, ça n'a pas trop grand intérêt, mais voilà, c'était une petite application très pratique de qu'est-ce que c'est, comment on fait le lien entre application linéaire et matrice. J'espère que ça vous a aidé. Laissez des commentaires s'il y a besoin. A la prochaine pour une prochaine vidéo.

Matrices, produits et composition

RELATED

Recommended videos

Noyau et image par la matrice

Techniques Rapides !