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Tescia 2022

Dans cette vidéo, le professeur corrige le premier exercice du Tessia de 2022, qui concerne une suite récurrente. Il explique que cette suite est appelée une suite arithmético-géométrique et donne des conseils pour résoudre les questions. Il souligne l'importance de connaître les définitions des suites arithmétiques et géométriques pour pouvoir les exclure. Il propose également une astuce pour utiliser uniquement la différence entre deux termes consécutifs pour déterminer la nature de la suite. Ensuite, il explique comment trouver l'expression de la suite a_n et de la limite de u_n. Enfin, il termine en rédigeant une démonstration pour justifier la limite de u_n.

Bonjour à tous et bienvenue dans cette vidéo où je vais vous corriger le premier exercice qui est tombé au Tessia de 2022. Alors, dans cet exercice, on voit qu'on démarre avec un exercice de suite. Donc en gros, une suite récurrente. Vous arrivez au concours, vous commencez par ça. Potentiellement, c'est plutôt rassurance, des choses qu'on connaît. Alors, première remarque, on va voir qu'ici, on a une suite. Un plus un, il y a un tiers de un plus deux. C'est une suite que vous pouvez connaître déjà en arrivant au Tessia. Ce n'est pas impossible, vous avez déjà entendu parler. C'est un peu hors programme, mais ça tombe tout le temps dans les exos de BAC ou dans les exos de DS en terminale. C'est en fait une suite qu'on appellera dans le super, une suite arithmético-géométrique. J'en ai déjà parlé sur cette chaîne. C'est une suite qui est un peu géométrique parce qu'il y a un terme, un tiers de un. Mais vite fait, parce qu'il y a quand même un terme qu'on rajoute à chaque fois, plus deux. Un terme un petit peu arithmétique. Si vous connaissez déjà ces suites-là, vous ne serez pas surpris de voir qu'on introduit a n égale un moins trois. Vous allez pouvoir faire ça très vite. On va faire ici comme si on ne connaissait pas et comme si on n'avait jamais fait ce genre de suite. On va y aller doucement. On va regarder un peu toutes les questions. On est au Tessia. Le Tessia va tester vraiment votre capacité à faire des maths, à ne pas tomber dans des pièges. Les trois quarts de ces épreuves seront toujours des QCM. Il y aura des questions de type M, de type L. Il faudra rédiger une réponse sans la justifier. Et de type R, pour rédaction j'imagine, où il faudra écrire une démonstration. On commence ici. On vous pose une suite qui est définie de manière récurrente. Imaginons qu'on n'a jamais vu. On est content. On n'a jamais vu ce type de suite. On ne reconnaît pas vraiment, mais on se dit que c'est un peu géométrique, mais pas trop. On a u0 égale 1, une relation de récurrence. On nous dit qu'on pose une suite a n qui est exactement comme un moins trois, avec un petit décalage constant. Première question, valeur de u2. Deuxième question, quelle est la nature de un ? Ensuite, on parle de a n. On va regarder si a n est arithmétique ou géométrique, ou aucun des deux. Et puis exprimer potentiellement la raison, l'expression de a n, et aller jusqu'à u n ici. C'est bien de regarder le problème à l'avance, comme je le fais là. U n, on va essayer de l'exprimer. Et puis à la fin, rédiger une démonstration sur la valeur de la limite. Voilà ce qu'on va faire maintenant. Commençons par le calcul de u2. J'ai une suite récurrente. Je ne suis pas passé par quatre chemins. Une suite récurrente. Il faut calculer u1, et ensuite on aura u2. Calculons u1. Je fais vite fait les calculs ici, comme ça on ne perd pas de temps. U1, c'est 7 tiers. U2, c'est 25 neuvièmes. Très bien. Question 2. Quelle est la nature de u n ? Est-elle arithmétique ou géométrique, ou aucune des deux ? Première intuition, c'est ce que j'ai dit au début. C'est vite fait géométrique, ou vite fait arithmétique, donc sûrement aucun des deux. Ça, c'est l'intuition. Vous pouvez un peu jouer rapido et se dire, c'est bon, c'est sûr que c'est ça, et j'avance. Si vous voulez vérifier et être sûr de ne pas vous planter et d'avoir la bonne réponse, ce que vous pouvez faire, c'est revenir à la définition de ce que c'est une suite arithmétique, et ce que c'est une suite géométrique. Une suite arithmétique, c'est une suite pour laquelle, quand vous prenez deux termes consécutifs, la différence des deux, ce qui les sépare, c'est toujours un truc constant. Si vous prenez, je ne sais pas, U108, U109, ou bien U2 et U3, la différence des deux, c'est toujours 5, par exemple. Une suite géométrique, c'est une suite où le quotient de deux termes consécutifs est toujours constant. Donc U109 sur U108, ça vaut 7. U3 sur U2, ça vaut 7 également. Donc pour rejeter le fait ici que c'est géométrique ou arithmétique, on pourrait tester, vu qu'on nous a fait calculer U2, de regarder la différence U1, U0, la différence U2, U1, et le quotient U1, U0 d'un côté, le quotient U2, U1 de l'autre, pour éliminer ou valider, en tout cas, valider, ça va être compliqué, mais en tout cas, pour potentiellement éliminer les deux types de suites arithmétiques et géométriques. Donc faisons U1-U0, 4 tiers, U2-U1, faites les calculs, on trouve 4 neuvièmes, ce sont deux raisons différentes, donc ce n'est pas arithmétique. De la même manière, on fait les quotients, 7 tiers, 25 sur 21, vous pouvez faire ce que vous voulez, mais ça, ça ne va pas être égal, et donc ce n'est pas non plus géométrique. Voilà comment on peut se convaincre avant de répondre. La suite A1. Alors, on passe à la suite A1, on vous demande, même question qu'avant, est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Aucun des deux. Alors vous pourrez vous dire, on fait la même méthode que la question précédente. Ça marchera, vous pouvez calculer A0, ça fait quoi ? Ça fait 1-3-2, A1, A2, essayez de voir. Cette méthode, en gros, c'est bien pour rejeter, parce que si on rejette, il suffit d'un contre-exemple pour rejeter. Ça ne va pas vous aider à prouver quelque chose. Donc si vous voulez vous convaincre qu'elle est quelque chose, il vaut mieux faire des tests. Qu'est-ce qu'on peut faire comme test ? Pour arithmétique, on calcule AN plus 1 moins AN, c'est-à-dire la différence de deux termes consécutifs, et on voit si on trouve un truc constant. Pour géométrique, on fait un deuxième test, on fait AN plus 1 divisé par AN, et on voit si ça fait un truc constant. Le problème, c'est que ces deux tests, c'est long, là, votre but, c'est de déchirer et d'aller vite. Petite astuce. Donc l'astuce de cette partie que je vous donne, c'est de faire uniquement AN plus 1 moins AN, parce que vous pouvez conclure à partir de ça, sans vous embêter à faire le deuxième. Je vous montre pourquoi, c'est très rapide. Quand vous faites AN plus 1 moins AN, dans le cas où de fait c'est une suite arithmétique, vous allez trouver un truc constant R. Dans le cas où elle est géométrique, si elle l'est, vous allez trouver quoi ? AN plus 1, ça sera QAN, et vous allez trouver un truc à la fin, AN plus 1 moins AN, qui va être quelque chose fois AN. Ça, c'est top. Si on trouve ça, on pourra dire qu'elle est géométrique. Donc en fait, ce qu'on fait, on calcule AN plus 1 moins AN ici, et on voit ce que ça donne. AN plus 1 moins AN, on remplace, c'est UN plus 1 moins 3 moins UN moins 3. OK. Ça, c'est pas trop compliqué. Le 3, ça dégage, le UN plus 1, on le remplace par sa valeur. Ça fait un tiers du UN plus 2 moins UN, je simplifie les UN ensemble, ça fait moins de tiers du UN plus 2. Méthode de calcul pour ces exos. Très important, parce que ce genre d'exos avec des petites suites auxiliaires, vous pouvez retenir quand il y a ce genre de trucs, il y a des petites techniques à connaître. La technique qui tue ici, qui est vraiment importante, qui vous sauve pour l'exercice, c'est la factorisation. Quand vous faites ce truc-là, le but, c'est quand même de faire réapparaître, vu que ça n'a pas l'air d'être constant honnêtement, c'est de faire réapparaître du AN. Donc vu que AN, c'est UN moins 3, moi j'ai envie d'isoler le UN, et donc de me dire, factorisons par le truc qu'il y a devant. Le truc qu'il y a devant, ça peut être moins 7 sur racine de 2, ça peut être 3, c'est plus facile, ça peut être moins de tiers, on ne s'embête pas, vous avez des capacités de factorisation, normalement, on factorise, on voit ce que ça donne. Normalement, l'exercice est bien fichelé, et ça marche. Donc, on factorise par moins de tiers, et vous vous demandez, ok, par quoi je le multiplie ? Qu'est-ce que je dois multiplier par moins de tiers pour donner plus 2 ? Vous vous débrouillez, ça prend une demi-seconde, vous trouvez moins de tiers fois UN moins 3, et là, vous êtes bon. Parce que vous avez trouvé moins de tiers de UN moins 3, comme par hasard, ça c'est AN, on a trouvé une suite géométrique. Le Discord, j'en parle tout le temps, on est maintenant plus de 1200, n'hésitez pas à le rejoindre, c'est une communauté ultra positive, on parle de physique, d'informatique, on parle d'orientation, les gens répondent à vos questions de manière bienveillante, c'est vraiment chouette, beaucoup de partage, allez, je vous laisse pour la suite de la correction, bye bye. En effet, on a dit qu'on avait AN plus 1 moins N égale moins de tiers de AN, il suffit de repasser ce AN de l'autre côté, je l'ai fait ici, et on voit que AN plus 1 égale un tiers de AN. Elle est géométrique. Maintenant, la réponse aux questions 4 et 5, c'est-à-dire la question qui disait comment s'exprime A et quelle est sa raison, c'est super rapide, la raison c'est un tiers, comment ça s'exprime, on l'écrit ici tout de suite sur son bouillon, on dit que c'est A0 fois un tiers puissance N, A0 c'est U0 moins 3, ça fait moins de 2 fois un tiers puissance N. Et là c'est fini, vous pouvez cocher rapidement, vous avez un tiers moins 2, voilà les bonnes réponses. Avant de dernière question, on vous demande quelle est l'expression de UN, là on ne se prend pas la tête, on n'oublie surtout pas la définition, on revient à la dette, c'est ce que je vous dis ici, AN c'est UN moins 3, parfait, UN c'est AN plus 3, je mets de l'autre côté. Et j'obtiens donc ce truc-là, qui était ici, plus 3. Voilà mon expression. Dernière question, une question de rédaction, il y a un petit R, comme vous voyez c'est R1, la première du sujet. La semaine prochaine, je vous ferai l'exercice. Là, vous allez faire, dans ce R1, on va chercher la limite de UN, on va essayer de justifier, et j'ai essayé de faire une réponse la plus rapide possible, en utilisant ce qu'on a déjà trouvé. Donc, le plus simple, c'est d'appliquer le cours. Comme la valeur absolue de la raison, 1 tiers, est plus petite que 1, alors, d'après le cours, la suite AN est géométrique, convergente vers 0. On sait que dès que la raison Q est plus petite que 1, le tout, l'ensemble des termes, devient très petit, convergent vers 0. En effet, vous imaginez qu'on a 1 tiers, ça fait 1 tiers au carré, 1 neuvième, encore au cube, ça fait 1 vingt-septième, ça devient de plus en plus petit. Au final, comme UN égale AN plus 3, on peut juste justifier que limite de UN égale 0 plus 3, égale 3, c'est fini. Voilà, comment vous pouvez, un peu, déchirer votre premier problème du testiaire. Donc, deux choses qui ne sont pas évidentes si vous ne les avez jamais rencontrées, enfin, si vous ne les avez jamais rencontrées, faire, petite astuce d'accélération ici, un seul test pour vérifier si c'est arithmétique ou géométrique, deuxième méthode où il faut vraiment être sûr que vous êtes très bon avec vos fractions, vos simplifications, c'est la factorisation ici pour faire apparaître AN. Si tout ça vous semble un peu compliqué, bon, vous dites juste, ok, ce n'est pas arithmétique et vous faites AN plus 1 sur AN, à vous de voir. Moi, je voulais vous proposer les deux, j'espère que ça vous a aidé, je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo. Bye bye. Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Une suite récurrente !

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