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Bachelor Polytechnique 

Le cours aborde la résolution d'une équation de degré 5 qui consiste à trouver le nombre de solutions réelles en fonction d'un paramètre p. L'exercice nécessite une analyse approfondie de la fonction x^5 - 5x - p. Un graphe de la fonction est présenté pour illustrer les différentes valeurs de p et le nombre de solutions correspondant. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, le professeur détermine différentes conditions pour le nombre de racines en fonction de la valeur de p. Il trouve qu'il y a une unique racine entre 1 et l'infini pour p>4, deux racines pour p=4, et trois racines pour -4<p<4. Pour p<-4, il y a à nouveau une unique racine. En résumé, l'ensemble des solutions de l'équation dépend de la valeur de p et peut être déterminé en analysant les différentes conditions. Le professeur encourage les étudiants à poser des questions et conclut en indiquant que d'autres exercices du même type seront présentés dans des vidéos futures.

Bonjour à tous, aujourd'hui on se retrouve pour le corriger d'un exercice qui est tombé à l'oral du bachelor de polytechnique. Dans cet exercice, on va pousser un peu la limite d'un exercice assez classique qui est la recherche de solutions d'une équation. En général, ce que vous avez vu en terminale, c'est que quand on cherche le nombre de solutions d'une équation, on étudie une fonction et on applique le théorème des valeurs intermédiaires. Ça va être à peu près ça ici, sauf qu'on va pousser un petit peu plus l'étude et la complication. Donc on vous dit, swappez un réel, trouvez le nombre de solutions réelles de l'équation, alors là c'est un peu le drame, x puissance 5 moins 5x égale p. Donc deux difficultés. Première difficulté, c'est du degré 5. On se dit que le degré 5 c'est peut-être une fonction un peu complexe, c'est un polynôme, donc à la limite ça va se dériver, et pour un peu moins paniquer, on voit que c'est pas du x puissance 5 moins 7x puissance 4 plus 8x3 etc. Au moins ils ont pitié de nous, ils nous filent que deux types de puissance, la puissance 5 et la puissance 1, il n'y a pas tous les autres termes. Par contre la grande difficulté c'est p. P c'est un paramètre. Ça veut dire qu'en gros, on comprend que selon les valeurs de p, il y aura peut-être plus ou moins de racines. Donc tout l'exercice va consister en une discussion, selon combien vont p, alors combien est-ce qu'on a de racines selon l'application du TVI. J'ai envie de commencer par vous montrer une illustration de la fonction, et en fonction des valeurs de p. Je vous montre ça sur un graphique. J'ai tracé la fonction x puissance 5 moins 5x moins p. Voilà à quoi elle ressemble. On dirait un peu une fonction x cube si vous avez l'habitude, bon là c'est une puissance 5. Et si je bouge la valeur de p, donc là je suis à p égale 2 par exemple, là je suis à p égale 6, je me rends compte qu'il y aura un nombre de racines qui évolue. Tout bêtement parce que la valeur de p fait déplacer la courbe. Donc qu'est-ce que je vois ici ? Si p est assez élevé apparemment, j'ai qu'une solution, qui est en l'occurrence ce point ici. Mais si p commence à prendre des valeurs, par exemple ici je suis à p égale 0.9, je me rends compte que j'aurai 1, 2, 3 racines. Et si je continue à baisser la valeur de p, j'en aurai plus qu'une encore une fois ici. Donc en gros il y a une discussion clairement, et selon la valeur de p on voit qu'il peut y avoir une racine, deux racines quand je suis juste en genre comme ici, ou trois racines. Donc c'est la discussion qu'on va faire. Graphiquement c'est assez évident, maintenant ce qu'il faut trouver c'est exactement les points de comportement. Alors c'est parti. Ce qu'on voit ici c'est que la fonction f2x, donc je pose f2x égal x puissance 5, moins 5x, moins p. Si vous voulez je prends l'expression qui est là, et je mets tout à gauche, donc je fais moins p. C'est un polynome donc dérivable. Très facilement dérivable, 5x4 moins 5. 5x4 moins 5 a le bon goût de se factoriser très facilement. Ça fait x4 moins 1 qui se factorise en, encore une fois en utilisant l'identité remarquable, x carré moins 1, x carré plus 1. 5x carré plus 1 c'est positif strict, c'est le signe de x carré moins 1 qui va déterminer le signe de f'. x carré moins 1 on connaît, c'est une parabole comme ceci. On sait qu'elle est négative entre les racines moins 1 et 1, mais positive au-delà. C'est pour ça que j'obtiens ce tableau de variation, plus, moins, plus pour la dérivée entre moins 1 et 1, et donc une fonction qui monte, descend et remonte. Ça correspond exactement au graphique que je viens de vous montrer. Donc on trouve très vite les limites en moins l'infini et plus l'infini, c'est une puissance 5, en moins l'infini ça tend vers moins l'infini, en plus l'infini ça tend vers plus l'infini. Les valeurs en 1 et en moins 1 sont les valeurs qui vont nous intéresser. On trouve assez vite 4 moins p en moins 1, et moins 4 moins p en 1. Selon la hauteur de ces points maximum ici et minimum locaux ici, on aura plus ou moins de solutions. En regardant ce qui se passe ici, 4 moins p, commençons à regarder si p est plus grand strict que 4. Si p est plus grand strict que 4, alors 4 moins p est négatif. Si 4 moins p est négatif, tout ça, c'est négatif. C'est-à-dire que la fonction n'a que des valeurs négatives entre moins l'infini et 1. On est content, ça veut dire que sur moins l'infini 1, rien de bien intéressant. Par contre, entre 1 et plus l'infini, vu que ça c'est négatif et que là on tend vers plus l'infini, je peux appliquer mon théorème de valeur intermédiaire. Et je vais trouver que pour toutes les valeurs de p plus grand strict que 4, c'est-à-dire p égale 7, p égale 1082, tout ce que vous voulez, il n'y a qu'une unique racine à l'équation x puissance 5 moins 5x égale p. Unique racine donc entre 1 et plus l'infini. Deuxième cas, quand 4 moins p vaut exactement 0, donc quand p égale 4. C'est exactement la même situation qu'au-dessus, sauf qu'en moins 1, on a pile poil une tangence sur l'axe aux x. Donc on a une petite solution en plus qui est moins 1. Ça nous fait donc 2 racines. Ensuite je continue ma discussion et je dis, maintenant si p est compris entre moins 4 et 4, ça veut dire qu'en 4 moins p cette fois-ci est positif, 4 moins p est positif ici, mais moins 4 moins p, lui, est toujours négatif. Oups, je voulais dire négatif ici. Donc là on parle du cas, je vais vous montrer une graphe, comme ceci. Donc par exemple, il y avait le cas juste précédent où on avait une tangence ici, on avait d'abord une seule solution, comme ça. Puis quand p valait 4, on est dans ce cas-là, exactement. Et là je vous parle maintenant du cas où p est compris entre moins 4 et 4, on se rend compte qu'on va avoir 3 solutions. Donc je retourne à mes calculs. Quand p est donc entre moins 4 et 4, je peux appliquer le TVI sur 3 intervalles. D'abord sur moins l'infini moins 1, parce qu'ici j'ai une valeur négative et une valeur positive, je sais donc que j'aurai une racine ici. Ensuite sur moins 1, la même manière, ici c'est positif, ça c'est négatif, donc j'aurai une racine à cet endroit, ça me donnera 0. Et ensuite entre 1 et plus l'infini. Pour p entre 4 et moins 4, je trouve 3 racines. Si p égale moins 4 pile poil, ça va être un peu la même situation, sauf que je vais avoir exactement ici une racine en 0. Donc entre moins l'infini et moins 1, j'aurai une racine. Ici c'est positif, et jusqu'ici tout est positif, mais c'est exactement nul à cet endroit, c'est un peu le cas symétrique de tout à l'heure. J'aurai donc 2 solutions, quand p vaut moins 4. Et quand p est plus petit que moins 4, ça veut dire qu'à la fois cette chose là est positive et celle-ci aussi, je suis toujours positif, sauf entre moins l'infini et moins 1, où je vais pouvoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. C'est comme ça que je peux conclure cet exercice et dire quand p est plus petit que moins 4, j'ai une unique racine. Donc l'ensemble solution ici, tout ce qu'on veut entendre comme solution à ce problème, c'est de dire quand p est plus grand que 4, une unique racine, p égale 4, 2 racines, et en gros parcourir l'ensemble des valeurs possibles de p. P entre 4 et plus l'infini jusqu'à p entre moins l'infini et moins 4. Vous voyez tout ce qui peut se passer au milieu. L'ensemble des racines pour chaque soucas, tout ça constitue votre réponse. C'est un petit peu laborieux, mais si vous êtes précis et efficace, ça revient à appliquer le théorie plusieurs fois, mais en perdant pas trop le nord et en sachant à peu près cadrer vos différentes étapes. J'espère que ça vous a inspiré et que ça vous a aidé. Je referai d'autres exercices du bachelor de polytechnique parce qu'ils sont souvent de bons niveaux et assez intéressants pour vous indiquer à peu près le niveau de ce qu'on peut vous demander. Sur ce, n'hésitez pas à poser des questions en commentaire si besoin et je vous retrouve pour une prochaine vidéo. Bye bye.

Solutions d'une équation de degré 5 !

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