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Bachelor Polytechnique 

La vidéo est une transcription d'un cours sur la résolution d'un exercice lié au Bachelor de l'école polytechnique. Le cours explique comment simplifier et développer la formule de (A + B) au cube. Il rappelle d'abord la formule de base A cube + 3A carré B + 3A B carré + B cube, puis propose deux astuces pour retrouver les formules plus facilement. La première astuce consiste à remarquer que les puissances totales de chaque terme sont toujours égales à 3, et elles sont décroissantes pour A et croissantes pour B. La deuxième astuce est d'utiliser le triangle de Pascal pour trouver les coefficients devant chaque terme. En combinant ces deux astuces, on peut facilement trouver la formule pour n'importe quelle puissance de (A + B). Ensuite, le cours résout l'exercice en utilisant la formule (A + B) au cube et (X + A) au cube, puis en faisant la différence des deux. Finalement, il trouve que la différence est égale à 6X carré A + 2A cube. Le cours se conclut en rappelant que cette astuce peut être utile pour calculer n'importe quelle puissance d'une somme.

Dans cette vidéo, la correction d'un exercice tombé au bachelor de l'école polytechnique. Assez technique, mais en même temps assez simple. Quand on voit un exercice comme ça, tout ce qu'il faut c'est donc simplifier, développer. Premier réflexe, c'est super si vous connaissez par cœur la formule de A plus B au cube. A plus B au cube, je vous la rappelle, c'est A cube plus 3 A carré B plus 3 A B carré plus B cube. Remarque générale, j'ai envie de vous apprendre un truc, ou en tout cas de vous faire réviser un truc si vous n'êtes pas sûr. Pour trouver ces A plus B puissance N, donc ici N égale 3, l'idée c'est qu'en fait on a la formule du binôme de Newton. Mais c'est une galère. Je vous la mets ici, c'est somme de k parmi N, AK, BN moins K, donc vous connaissez ça sûrement. C'est pas le plus pratique, surtout si vous êtes à l'oral en train de vous rappeler à peine de la formule. Aller sortir tout ça, recalculer les k parmi N, galère. Donc il y a deux astuces à combiner pour retrouver ces formules très facilement. La première, c'est que les puissances totales de chaque terme, où j'appelle terme chacun des éléments qui est séparé par un plus, la puissance totale fait toujours 3. Et elles sont décroissantes pour l'élément A et croissantes pour l'élément B. C'est-à-dire qu'ici on a une puissance 3, ici on a une puissance 2 plus 1 égale 3, ici 1 plus 2 égale 3. Mais si vous voulez c'est 3 pour A, puis 2, puis 1, puis 0, alors que pour 0 c'est puissance 0, puissance 1, puissance 2, puissance 3. Donc c'est ce que j'ai résumé ici. On a une puissance totale qui fait N, 3 ici, et qui décroît pour un terme qui monte pour l'autre. Deuxième astuce, c'est se souvenir ensuite du coefficient qu'il y a devant chacun des termes. Le coefficient ici c'est 1, 3, 3, 1. L'astuce c'est d'utiliser le triangle de Pascal, donc qu'est-ce qu'on fait ? On commence par, on met toujours une colonne de 1, c'est-à-dire que pour chaque, donc là je vais pour N égale 1, pour N égale 2 c'est A plus B au carré, etc. Pour chacun on sait que le premier et le dernier des coefficients sont 1. Ensuite c'est une petite technique de calcul, pour trouver par exemple le 2 qui est ici, ce qu'il faut faire c'est calculer ça plus ça donne ça. Donc vous savez que là c'est A plus B puissance 1 égale A plus B, très bien. Ici A plus B au carré c'est A carré plus 1 fois A carré plus 2 fois AB plus 1 fois B carré. A plus B au cube c'est la même chose, 1 fois A cube plus 1 plus 2 donne 3 fois le terme d'après A carré B plus 2 plus 1, 3, 3 fois le terme d'après AB carré. Vous retrouvez comme ça les coefficients 1, 3, 3, 1 en utilisant la règle de celui-ci plus celui-ci donne celui d'en bas, celui-ci plus celui-ci donne celui d'en bas. Chaque fois vous prenez pour un coefficient donné vous prenez celui au dessus plus celui au dessus à gauche et vous obtenez en faisant la somme le coefficient que vous cherchez. En combinant ces deux trucs là, si on vous dit A plus B puissance 5 vous pouvez le trouver tout de suite, ça fera A5, ici j'ai des coefficients 1, 5, 10, 10, 5, 1. Et je fais 1, 5, 10, 10, 5, 1 pour les coefficients A5, A4 fois B, A3 fois B2, A2 fois B3, etc. C'était une petite astuce, pour moi l'exercice n'est pas très compliqué donc c'était l'occasion de faire ce petit rappel. Ensuite si on résout l'exo, ici j'écris A plus B au cube avec X plus A, ça donne ça, X3 plus 3X2A plus 3XA carré plus A cube. X moins A au cube c'est la même chose sauf que c'est comme si j'avais X plus moins A donc je remplace, là j'ai 3X2 fois moins A donc j'ai un moins. 3X fois moins A au carré, le moins s'en va puisqu'il est au carré et moins A au cube ça fait moins A cube. On me demande de faire la différence de ces deux-là, en gros c'est la différence et ensuite il reste des choses qu'on gérera après. Quand je fais la différence de ces deux-là ça donne quoi ? Ben ça, ça s'en va, ça, ça s'en va, il reste ça moins moins donc plus ça et ça plus ça. Ça fait donc 6X carré A plus 2A cube. Nous ce qu'on voulait c'était la différence des deux termes en cube moins deux termes qui sont exactement ceux-là, ça veut dire qu'on obtient 0. Voilà c'était assez court, j'espère que ce petit rappel vous a aidé en gros, en tout cas vous aidera au cas où vous avez besoin de calculer une puissance N d'une somme. Posez-moi des questions dans les commentaires s'il y a besoin et je vous retrouve pour une prochaine vidéo. Bye bye ! Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Développer des cubes

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