Home

Terminale

Prépa Examens

Concours et examens UK 

Cambridge 

Dans cette vidéo, nous avons un exercice de mathématiques qui consiste à trouver toutes les solutions d'une équation. L'exercice se décompose en plusieurs étapes. Tout d'abord, nous devons comprendre qu'il s'agit d'un exercice où la précision et l'efficacité sont requises, plutôt que la créativité. Ensuite, nous différencions les différentes valeurs absolues selon les intervalles donnés. Nous combinons ensuite ces valeurs absolues pour obtenir une expression pour f(x). Ensuite, nous essayons de résoudre l'équation f(2x) = x + 2 sur chaque intervalle en vérifiant que les solutions obtenues sont valides pour chaque intervalle. L'équation a une solution valide sur l'intervalle -∞ à -1 et sur l'intervalle 1 à +∞. En revanche, il n'y a pas de solution valide sur les intervalles -1 à 0 et 0 à 1. Ainsi, la solution de l'équation est l'ensemble des réels entre 2 et +∞, inclus, ainsi que la solution unique -2. La vidéo conclut en encourageant les spectateurs à poser des questions et à partager d'autres solutions élégantes.

Bonjour à tous, je vous retrouve aujourd'hui pour un exercice tombé à l'université de Cambridge, en Angleterre, en 1997. « Find all the solutions », on commence direct les pieds dans le plat, trouver toutes les solutions de l'équation suivante. Premier truc, j'appelle F le membre de gauche, et je me rends compte que c'est une question qui va tourner autour des valeurs absolues. Là, quand je vois ça, il faut surtout comprendre tout de suite quel type d'exo on a face à nous. Est-ce que c'est un exercice où ça va être un peu bizarre, un peu complexe, il faudra faire un raisonnement, il faudra trouver une astuce, un petit truc ? Ou est-ce que c'est un exo où il faut être un peu un bourrin de précision et d'efficacité, c'est-à-dire réussir à faire des choses étape par étape sans se tomber ? Clairement, valeurs absolues, c'est la deuxième étape. C'est pas un truc où il faudra être créatif, c'est un truc où il faudra faire attention à tous les sous-cas, à combien vaut la valeur absolue en fonction de si on est au-dessus de moins 1, etc. Donc là, il faut se dire attention, je passe en mode robot, efficace, je ne me trompe pas. Je vous dis ça parce que quand j'ai préparé le brouillon, j'ai réussi à faire une erreur. Et c'est très simple de se planter, mais là, donc pas de créativité spécialement, juste de la précision, de l'efficacité, montrer que vous êtes une brute qui sait quand il le faut être ultra-précise. Donc valeurs absolues, on va différencier tous les cas de combien valent chacune de ces valeurs absolues. Il y en a 5, 4 pardon, sur chacun des intervalles. Donc les intervalles, c'est entre moins l'infini et moins 1, 0, 1, 2, parce que celle-ci change de valeur selon moins 1, celle-ci autour de 0, 1 et 2. J'écris pour x plus 1, x, x moins 1, x moins 2 en valeurs absolues combien elles valent. Je vois qu'elles s'annulent à chaque fois entre moins 1, 0, 1, 2. x moins 1 par exemple vaut 1 moins x avant 1 et x moins 1 après. Je fais ça pour les 4, ça donne 5 différents intervalles. Ce sont les 5 intervalles où il faudra essayer de résoudre cette équation. Étape numéro 2 après l'expression de valeurs absolues, expression de f. Donc j'appelle f cette chose-là. Il faut combiner ces valeurs absolues. On trouve l'expression de f, alors vous allez me dire c'est immonde, mais j'ai détaillé le calcul pour que vous puissiez voir, le PDF est téléchargeable dans la description. Donc vous avez le détail des calculs, il ne faut pas se tromper. Donc plus 3 fois x moins 1 quand on est avant moins 1, c'est 3 fois 1 moins x, etc. Vous simplifiez et vous obtenez 5 expressions différentes. Assez simple, sur les 5 petits intervalles. La difficulté maintenant, ça va être qu'on va essayer de résoudre f2x égale x plus 2, et on va chercher des solutions sur chacun des intervalles. Donc imaginons que je trouve une solution pour cet intervalle qui vaut moins 8, ça ne sera pas une solution valide parce que ça c'est une fonction qui est valide uniquement entre 1 et 2. Il faudra vérifier que si on trouve une solution, elle est bien dans l'intervalle considéré. Voilà, ce sera la petite difficulté où les gens peuvent se planter. La solution, alors on écrit sur les 5 intervalles f2x égale x plus 2 à chaque fois. Si et seulement si, alors là j'ai un peu simplifié les calculs, moins x moins 2 égale x plus 2 ça donne ça. Si et seulement si, x égale moins 2. Parfait, j'ai trouvé une solution à l'équation, et la solution moins 2 est bien comprise entre moins l'infini et moins 1. Voilà une solution, cool. Sur moins 1, 0, je trouve x égale x plus 2, donc je trouve 0 égale 2. Si j'ai mis ça en rouge, c'est mort, il n'y a pas de solution. Ça veut dire juste que c'est vrai qu'il y a une solution. Si et seulement si, 0 vaut 2, c'est mort. Sur 0, 1, je suis content a priori, parce que je trouve une solution x égale moins 1, très bien. Mais je vois qu'en fait non, ça c'est f2x, elle vaut moins x uniquement sur 0, 1. Donc la validité de cette équation est juste sur 0, 1, donc si je trouve une solution en dehors, ce n'est malheureusement pas une solution à mon problème. Donc je l'ai mis en orange, on la dégage. Sur 1, 2, je trouve une solution unique qui est x égale 2, très bien. Sur 2 plus l'infini, je trouve une solution, enfin je trouve plein de solutions, parce qu'en fait f2x vaut déjà x plus 2. Donc en fait je trouve que x plus 2 est x plus 2, ce qui est toujours vrai. C'est-à-dire que là j'ai une infinité de solutions sur 2 plus l'infini. Donc c'est assez simple, au final j'ai ça qui se répète, mais je peux conclure et dire que mon ensemble de solutions, c'est moins 2, unique, un peu tout seul, union l'ensemble de tous les réels entre 2 inclus et plus l'infini. Voilà, donc une question un peu bourrine de discipline honnêtement. Il y en a quelques-unes des comme ça, ça se mélange avec la créativité, et c'est ce qui fait un peu la difficulté de ce concours pour entrer à Cambridge, le STEP. Je vous dis, courage pour la suite, révisez bien, posez-moi des questions si vous en avez besoin, si vous avez trouvé une autre solution plus élégante, n'hésitez pas à m'en faire part, et je vous dis à la prochaine, bye bye. Vous êtes encore là ? Ça, ça veut dire que vous voulez plus de maths ? Dans ce cas, abonnez-vous à la chaîne pour ne rater aucune des vidéos que je sors chaque semaine, et rappelez-vous que tous les jeudis, je suis sur cette chaîne pour répondre à vos questions et corriger des exos.

1, et 2, et… 4 valeurs absolues !

RELATED

Recommended videos

n réels et n équations circulaires !

Une fonction musclée !

Résoudre x = aˣ, et en moins de 10 minutes