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Oxford 2021

En utilisant la méthode QCM, nous pouvons éliminer certaines réponses évidentes. Nous devons trouver l'air délimité par trois courbes : y = e^x, y = 1 - e^x et l'axe y. On nous demande la valeur de R, qui est une aire, donc positive. On peut remarquer que log(e) = 1 et que log est croissant. Donc, log(2) sera inférieur à 1 car e (environ 2.7) est supérieur à 2. Donc, R sera négatif et peut être éliminé. En faisant un dessin, on peut voir que l'aire R existe entre les courbes e^x, 1 - e^x et l'axe y. Donc, la réponse R = 0 peut également être éliminée. En reliant les courbes e^x et 1 - e^x, on trouve un triangle circulaire dont nous voulons trouver l'aire. Nous devons donc trouver les bornes de l'intégrale, en trouvant la valeur de alpha qui est le point d'intersection des deux courbes. En utilisant l'équation E^(2alpha) = 1 - E^(2alpha), nous trouvons que alpha est égal à -log(2). En substituant alpha dans l'intégrale de E^(2x) - E^(2alpha), nous obtenons R = 1 + alpha = 1 - log(2). Ainsi, nous avons trouvé la réponse recherchée.

Hello ! Dans cette vidéo, je vais encore vous faire un exercice du Math Admission Test édition 2021. Il va falloir trouver l'air coincé entre trois courbes. C'est parti. Comme d'habitude dans ces exos, le plus dur c'est de ne pas partir dans une mauvaise direction et de bien comprendre ce qu'on vous demande. Donc traduisons. The area of the region bounded by the curve. Premier curve y equals e to the power of x. L'air délimité par la courbe y égale e to the power of x, l'autre courbe 1-e to the power of x et l'axe y est égal à. Bon, plein de propositions, aucune idée a priori. Mais dans ces exos, comme d'habitude un peu QCM, on peut sûrement éliminer des réponses assez évidentes, dans le sens vraiment évident qu'on peut les dégager. Par exemple, on vous demande une R. Donc là on ne vous dit pas à calculer une intégrale, c'est vous qui allez introduire la notion d'intégrale, bien sûr, pour faire le problème, pour le résoudre. Mais là on vous demande une R, donc par définition ce qu'on vous demande c'est positif. Vous, vous savez que log de e c'est égal à 1, vous savez que log est croissante, et comme log de e, ben e c'est 2,7, c'est plus grand que 2, ben log de 2 forcément ça sera plus petit que 1. Vu que log de e, qui est plus grand que 2, c'est 1. Donc en gros log de 2 moins 1 c'est négatif. Donc c'est mort. Ça peut dégager. Ensuite si vous savez faire un dessin, je vous montrerai un vrai dessin après, mais si vous le savez faire sur votre brouillon, vous avez e2x qui est comme ça, moins e2x qui est comme ça, donc nécessairement 1 moins e2x qui est comme ça. C'est la même chose décalée. Mais donc en fait l'R ici, je la vois, elle est là. C'est ça l'R qui est limitée entre e2x, 1 moins e2x et l'axe Y. Elle existe. Elle n'est pas du tout égale à 0. Donc 0 dégage. Voilà, petite intro, on peut virer déjà deux réponses. On va faire quelques calculs ensuite. En tous les cas je vais les faire, vous me direz alors peut-être qu'on aurait pu ne pas s'embêter à faire ça. Je vais vous montrer que des fois en fait on peut même aller jusqu'à éliminer 4 réponses. C'est ça le raisonnement le plus optimal. Le Discord, j'en parle tout le temps, on est maintenant plus de 1200. N'hésitez pas à le rejoindre, c'est une communauté ultra positive. On parle de physique, d'informatique, on parle d'orientation, les gens répondent à vos questions de manière bienveillante. C'est vraiment chouette, beaucoup de partage. Allez, je vous laisse pour la suite de la correction. Bye bye. Bon, je vous montre un peu la figure, puis on va pouvoir faire les calculs. Ma figure est ici, ça ressemble un peu au petit brouillon que j'ai fait en deux secondes sur la feuille. Vous avez en rouge exponentielle x, en vert exponentielle... non, moins exponentielle x plus 1. Donc on voit qu'elle va hop se coller à 1 ici. Et en bleu j'ai tracé l'air entre les trois, entre les deux courbes et l'axe au y. C'est une aire positive qu'elle va être ma stratégie. Je vais vous dire, l'air sous la courbe rouge c'est en fait bleu, l'air bleu et verte. Je vais lui retirer l'air sous la courbe verte pour obtenir juste l'espèce de petit triangle un peu circulaire là qui m'intéresse. On va faire ça en deux temps et ça va aller tout seul. J'ai pris un peu d'avance à l'écrit. On a I1, l'air sous la courbe exponentielle x. Donc c'est toute cette aire ici que je vous ai montré à l'instant. I2, l'air sous la courbe 1 moins exponentielle x. Donc c'est cette aire ici. L'air que je cherche c'est donc I1 moins I2. Je vois qu'un des points principaux de l'exercice ça va être de trouver en fait les bornes ici. J'ai bien mis à chaque fois entre alpha et zéro donc je calcule entre cet endroit ici et zéro ici. Il faut quand même que je trouve alpha. Donc ça c'est la piscine de ce point. Une fois que j'aurai trouvé alpha ça sera tout simple parce que les primitives d'exponentielle et de 1 moins exponentielle sont évidemment liées à l'exponentielle. Donc j'ai avancé un peu les calculs. L'air c'est I1 moins I2, c'est-à-dire ça moins ça. Je mets tout sous la même intégrale entre alpha et zéro et ça me donne E2x moins moins E2x. Il n'y a pas de problème ça fait deux fois E2x moins l'intégrale de 1dx. Et quand je simplifie tout ça, ça me donne tout bêtement deux fois... Jeu primitive E2x c'est E de zéro moins E2alpha, c'est ça, moins zéro moins alpha. En simplifiant je trouve à la fin 2 plus alpha moins 2 exponentielle de alpha. Qu'est-ce qu'il me reste à faire ? Trouver alpha. Alpha c'est le point d'intersection des deux courbes. Comment je le trouve ? On a alpha tel que E2alpha égale 1 moins E2alpha. Soit 2E2alpha égale 1, E2alpha égale 1 demi. 2E2alpha égale 1 ça m'arrange juste pour ici, rien de rien. Or je veux quand même alpha qui est égale à moins log de 2. Log d'un demi égale moins log de 2. J'obtiens donc R égale, je conclue un peu vite, mais c'est 2 plus alpha moins 1. Donc c'est 1 plus alpha, 1, moins log de 2. Et j'ai bien trouvé une des réponses qui était proposée dans l'énoncé. Tout bête. Voilà, pas grand chose à raconter en plus sur celui-ci. Honnêtement vous pouvez éliminer des réponses, même si ici c'est pas le plus rapide ou dans tous les cas on s'est pas trop conclu entre les trois autres. Mais je vous ai montré comment ça peut arriver d'éliminer des réponses. Vous comprenez qu'il faut faire une intégrale moins une autre pour exprimer l'air. Assez simple et classique en terminale. Ensuite on se rend compte que dès qu'on a le point d'intersection alpha, ça coule tout seul. J'espère que ça vous a aidé, n'hésitez pas à me poser des questions s'il y en a en commentaire et je vous retrouve une prochaine fois. Bye bye. Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Aire entre deux courbes

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