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Oxford 2021

Dans cet exercice basé sur la géométrie et les fonctions, des tangentes sont tracées à la fonction y = e^(2x) aux points d'abscisses p et q. Les tangentes croisent l'axe des x aux points a et b respectivement. Il y a une relation entre a, b, p et q qui est exprimée par a - p = b - q. Pour comprendre l'énoncé, une figure peut être tracée. En résolvant les équations des tangentes, on obtient les relations a - p = -1 et b - q = -1. Ainsi, la réponse à l'exercice est a - p = b - q. Il est conseillé de rejoindre la communauté Discord pour obtenir de l'aide supplémentaire.

Dans cet exercice que j'ai tiré du MathAdmissionTest 2021 pour rentrer à Oxford, Warwick ou Imperial, en gros, on va étudier la géométrie basée sur de l'étude de fonctions et des tangentes. Comme d'habitude pour ces exercices pas faciles du MathAdmissionTest, la difficulté vient en général d'une bizarrerie ou d'une manière de présenter le problème qui n'est pas habituelle pour un élève français. Donc on va regarder ça, analyser l'énoncé et ne pas se tromper. Donc des tangentes à la fonction y'e2x sont tracées au point d'abscisse p et donc d'ordonnée e2p, vu que je parle de tangente, c'est forcément un point qui est sur la courbe, et une tangente pour le point d'abscisse q et donc d'abscisse e2q. Ces deux tangentes vont croiser l'axe des x en a et b respectivement. On vous les donne, ça va croiser l'axe aux x en a et en b. Alors on a une relation entre a, b, p et q qui est une de celles-ci. Honnêtement, aucune idée. Quand je vois ces relations, ça ne m'inspire rien. Je ne vois pas une intuition géométrique automatique quand j'arrive devant ma copie en faisant ça. Donc premier truc que je vous conseille, c'est au brouillon faire une petite figure. Hop, vous tracez une exponentielle, vous tracez une première tangente avec ici le point a adapté, une deuxième tangente et l'autre point. Et on vous dit, il y a une relation entre les abscisses de ces points-là et ces deux-là. Comme là on ne voit rien, je vais vous faire, moi j'ai la chance d'avoir l'iPad avec moi, une figure un peu plus claire pour essayer de voir ce qu'ils veulent dire. On y est, je vous ai fait en rouge l'exponentielle, ensuite je vous ai mis une tangente ici orange et puis une seconde tangente ici. Les points dont on vous parle au début, c'est ceux-là. C'est ce point ici, ça serait par exemple le point d'abscisse p d'ordonnée e de p parce que je suis bien sur la courbe et je trace la tangente. Deuxième point, ça serait celui-ci. Hop, si j'arrive à le trouver. Le point de tangence en gros de la droite orange qui lui serait q, e de q si vous voulez. Bon bah ensuite, ce n'est pas très compliqué. On vous parle de a, a ça va être le croisement de la tangente bleue avec l'axe aux x et b ça va être le croisement de la droite orange, l'autre tangente, avec l'axe aux x. Et apparemment, il y a une relation qui reste toujours la même pour n'importe quel ensemble de deux tangentes, j'ai une relation qui reste constante, en tout cas qui est toujours pareil, quels que soient les points p et q que je choisis. Donc on va essayer de voir ça en faisant un petit peu de calcul. Le Discord, j'en parle tout le temps, on est maintenant plus de 1200, n'hésitez pas à le rejoindre, c'est une communauté ultra positive, on parle de physique, d'informatique, on parle d'orientation, les gens répondent à vos questions de manière bienveillante, c'est vraiment chouette, beaucoup de partage. Allez, je vous laisse pour la suite de la correction, bye bye. Le truc qu'il faut écrire c'est, quelle est l'équation d'une tangente à une courbe, dans le chapitre de la dérivée c'est un truc qu'on voit quoi, quelle est l'équation de la tangente, pour un point d'abscisse a donné, l'équation de la tangente à une courbe, à la courbe de f fonction dérivable, ça va s'écrire y égale f prime de a fois x moins a plus f de a. Appuyons ça ici, je vais faire à gauche pour un point d'abscisse p, et à droite pour un point d'abscisse q. Pour un point d'abscisse p j'ai y égale, dérivée de la fonction exp au point p, ça me fait e de p, fois x moins p plus la fonction prise au point p, e de p également. Ce n'est pas très compliqué, ça me fait ça, e de p fois x moins p plus 1. De la même manière je peux recopier exactement le même raisonnement à côté, et obtenir e de q, x moins q, plus e de q, et ça se transforme ici, enfin ça se factorise, en x moins q plus 1. Traduisons ensuite, on comprend quand même quand on voit la figure que selon le point p, l'abscisse du point de croisement va varier, il y a une relation entre les deux. Moi ici qu'est ce qu'on me dit, je prends l'énoncé et on me dit, en y égale 0, x égale a. C'est à dire que pour cette droite on me dit, quand vous croisez l'axe au x, c'est à dire y égale 0, alors l'abscisse sera a. J'ai plus qu'à remplacer. Si je remplace comme ça, j'écris 0 égale e de p fois a moins p plus 1. e de p ça dégage, et j'arrive à écrire une relation qui est a moins p plus 1 égale 0. De la même manière à côté, c'est parfaitement symétrique, donc j'écris en y égale 0, x égale on l'appelle b celui-ci, et donc je peux écrire 0 égale e de q, b moins q plus 1, et j'obtiens la relation b moins q plus 1 égale 0. À partir de là c'est assez facile, si vous regardez ce qu'on a ici, est-ce que je ne peux pas faire une relation entre a, b, p et q à partir de ce qu'on a écrit ? En fait si, il suffit de se rendre compte que là on a un qui est commun si vous voulez, donc je peux écrire que a moins p égale moins 1. J'ai aussi moins 1 égale b moins q, alors moins 1 c'est moins 1, et j'ai la relation suivante a moins p égale b moins q. Voilà, j'ai trouvé cette relation tout bêtement. En fait ce n'est pas très compliqué cet exercice, il suffit juste de ne pas trop paniquer sur le fait qu'il y ait deux tangentes, qu'ils se croisent, etc. Ça peut faire tout un truc, toute une situation. En fait quand vous vous posez, je fais deux fois, j'ai fait deux colonnes pour vous montrer, mais en fait j'en fais qu'une et je recopie le... à côté c'est vraiment un copier-coller en changeant les paramètres, et je me rends compte que j'ai une relation qui tombe toute seule, a moins p égale b moins q. Pour voir à quoi ça correspond ici, a moins p égale b moins q, c'est celle-ci. C'est la réponse C. Voilà, j'espère que ça vous a aidé, ce n'était pas une vidéo de grandes difficultés, pas une question de grandes difficultés, mais qui peut quand même vous rendre perplexe si vous le rencontrez comme ça et que vous ne l'avez jamais fait. Donc j'espère que ça aide, et n'hésitez pas à me poser des questions en commentaire s'il le faut, à me dire comment vous auriez fait cette méthode plus rapide pour conclure cette question. Des fois c'est possible qu'il y ait des méthodes genre on pouvait en fait éliminer dès le début A, B, D, E, et donc en ne dire que c'était C. Il y a des fois des méthodes comme ça, des fois je les rate. Ben dites-moi, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye ! Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Exponentielle et ses tangentes

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