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Oxford 2021

Dans cette vidéo, le professeur revient sur un exercice d'intégration qui est tombé en 2021 lors de l'examen d'admission en mathématiques. Il explique comment résoudre l'exercice de manière optimisée en utilisant les astuces et les formules vues en cours.

Le professeur commence par nommer les différentes variables et termes de l'exercice pour faciliter les calculs. Il souligne l'intérêt de bien connaître les primitives pour réussir cet exercice.

Il rappelle également un tableau des primitives classiques à connaître, en insistant sur une formule générale puissance alpha, qu'il recommande de retenir. Cette astuce permet de résoudre des exercices plus complexes plus rapidement.

Ensuite, il passe au calcul de l'intégrale en question. Il explique comment calculer I2A, la primitive de racine de x et de x2. Il utilise la formule générale puissance alpha pour la racine de x, ce qui simplifie le calcul. Il obtient ainsi l'expression de I2A.

Le professeur pose ensuite l'équation I de A égale 5 et propose de la simplifier en multipliant par 3. Il remarque alors une relation polynomiale de degré 2 entre les termes. Il utilise donc une méthode bien connue pour résoudre ce type de polynôme.

Il rappelle également une méthode alternative en utilisant la technique du X carré moins SX plus P. Il explique comment trouver les racines du polynôme et propose deux méthodes pour y parvenir.

Enfin, le professeur revient sur la condition initiale de l'exercice qui stipulait que A doit être un nombre positif. En utilisant les valeurs trouvées pour les racines du polynôme, il élimine une des solutions.

Pour conclure, le professeur écrit l'équation finale qui relie A à la valeur 5 et trouve la solution correspondante. Il rappelle également une formule générale permettant de trouver la racine d'une puissance donnée, ce qui peut être utile dans d'autres exercices.

Je reviens au classique de ma chaîne, alors que le Math Admission Test 2022 approche, je vais vous faire un exercice qui est tombé en 2021 et qui traite des intégrales. Voici la deuxième question de l'édition 2021 du Math Admission Test, question B, cette fois-ci sur une intégrale. Lisons ensemble, analysons et voyons comment on peut un peu rendre ça le plus facile possible et trouver les petites astuces pour aller très vite. Alors, le nombre positif A satisfait la relation suivante, intégrale entre 0 et A de racine de x plus x de dx égale 5. Premièrement, je vais nommer les choses. Ça, ça va être intégrale qui dépend de A, voilà. Ça, vous pourrez le référer plus tard, ça sera plus facile pour moi. On se rend compte, analyse, que si on connaît bien son cours sur les primitives, ça ne sera pas un problème de calculer ça, mais que c'est un exercice intéressant parce que la variable, la variable est au niveau de la borne, en fait, de la borne de l'intégrale. Donc, premier truc, on va calculer tout de suite ce qu'il y a là-dedans et on va voir un petit peu comment s'en sortir par la suite. Petit rappel, je vous ai mis des petits tableaux, je vais les rédiger un peu en direct, mais je vous fais des petits rappels quand même pour que le PDF soit bien complet. Voici le tableau de primitifs classique. Vous avez les primitives à connaître en terminale. Moi, je vais vous le compléter surtout avec la formule de la mort qui tue qui est, quand j'ai x puissance alpha, ça se primitive en x puissance alpha plus 1 sur alpha plus 1. Et devinez quoi, alpha appartient à R, auquel je retire bien sûr moins 1. Déjà parce que je ne peux pas diviser par 0 et parce que 1 sur x, ça primitive, c'est log de x. Je vous le mets comme ça, il n'y a pas besoin de retenir ni celle-ci, ni celle-ci, ni celle-ci, ni celle-ci, ni toutes celles-là, en gros. Toutes celles en gros, c'est des puissances de x ou des puissances négatives parce que c'est toujours la même chose. Si je mets 1 sur x2, c'est pour alpha également 2, boum, c'est ça qui s'applique. C'est un peu une astuce quand en gros, vous en retenez 1, 2, 3, 4, 5 pour le prix d'une. Et ça vous permet aussi de résoudre des exercices plus compliqués, genre celui qu'on va voir tout de suite. Le Discord, j'en parle tout le temps, on est maintenant plus de 1200, n'hésitez pas à le rejoindre, c'est une communauté ultra positive. On parle de physique, d'informatique, on parle d'orientation. Les gens répondent à vos questions de manière bienveillante. C'est vraiment chouette, beaucoup de partage. Allez, je vous laisse pour la suite de la correction, bye bye. Donc quand vous avez ça, vous vous dites, super, comment je calcule I2A, c'est pas bien compliqué. I2A, c'est d'abord la primitive de racine de x. La primitive de racine de x, c'est l'intégrale entre 0 et A de x puissance 1.5 dx, plus derrière, l'intégrale entre 0 et A de x2 dx. x2, ça va être gérable, c'est x puissance 1.5 qui peut être perturbante si vous ne l'avez pas, parce qu'en fait, en France, il y a moyen qu'on vous ait filé un tableau comme ça, et vous n'ayez pas cette formule générale. Et donc vous ne savez pas intégrer, primitiver, la racine de x. Or, avec ma formule qui tue, c'est très facile. C'est x puissance 1.5 plus 1, 3.5, sur 1.5 plus 1, 3.5, entre A et 0, auquel j'ajoute x puissance 3 sur 3, entre A et 0. Tout ça, ça vous convient. Je peux encore rentrer ça ici. Clairement, ça fait 2 tiers de A puissance 3.5, plus A3 sur 3. À chaque fois, il y a moins 0 et moins 0 pour ce terme-là. Inutile, j'écris ça. Et donc moi, qu'est-ce que je veux ? Si j'avance un petit peu dans mon exercice, je veux donc I de A égale 5, si et seulement si, 2 tiers de A puissance 3.5, plus 1 tiers de A3, égale 5. Qu'est-ce que je fais ici ? Il faut se dire, si on me demande de résoudre ce truc-là, peut-être qu'il y a moyen de paramétrer cette équation d'une manière qui va être plus simple pour moi. Le premier truc qu'on peut faire, c'est un peu, encore une fois, ranger tout ça, multiplier par 3. Ça me fera donc 2 A puissance 3.5, plus A3 égale 15. Voilà, ça simplifie un petit peu, on vire en gros les fractions embêtantes. Et là, je me rends compte de quoi ? Si vous avez fait pas mal d'exos sur les polynômes, vous savez résoudre X4 plus 3 X2, je dis n'importe quoi, plus 5. Quand il y a du X4 et du X2, on se rend compte qu'il y a bien un terme ici, qui est au carré à côté. Il y a une relation polynomiale de degré 2 entre un terme qui est en X2 et qui devient du X4. Là, en fait, si on regarde bien, c'est un peu la même chose. On a du A puissance 3.5, donc en fait c'est racine de A3 et du A3. Donc je suis encouragé à dire soit X égale A puissance 3.5. La relation devient X2, X2, c'est donc ça, plus 2X moins 15 égale 0. Là, c'est pas bien compliqué. J'ai envie de vous faire un petit rappel sur... Il y a plusieurs manières de faire. Vous faites le delta, ça roule. Petite astuce, si vous connaissez votre cours et vous appliquez la technique du X carré moins SX plus P, c'est-à-dire en gros utiliser les coefficients qu'on voit ici, donc 2 et moins 15, se rendre compte que ces coefficients sont liés à somme et racine des produits, on peut aussi le voir très vite et le faire à la main, au lieu de faire de tête. Je vous fais un petit rappel quand même. Ce qu'on appelle le X2 moins SX plus P, c'est un point qu'on voit en première, mais qu'il est bon de connaître dès la seconde honnêtement. Dès qu'on a un P de delta positif, donc dès qu'on a un P, un polynome du degré 2, on sait qu'il existe deux racines, si c'est acquis qu'elles existent. Alors, en développant ces deux racines, pour peu que le coefficient devant le X2 soit 1, je me rends compte que quand j'ai le terme X carré ici, le coefficient devant le terme X est moins la somme des racines, donc moins S, et le terme constant c'est en fait le produit des racines. Donc ça, comme astuce, ça peut être la source de votre calcul mental. Vous dire, allez, on parie qu'il y a des racines dans ce truc là, donc je ne suis pas encore sûr, on parie qu'il y a des racines, donc deux méthodes, je parie qu'il y a des racines, est-ce que je ne pourrais pas écrire moins 15 comme un produit, par exemple 3 fois moins 5, et donc 2 serait aussi la somme de ces deux trucs là potentiellement. Ou bien autre méthode, trouver une racine qu'on appellerait évidente, par exemple ici ça pourrait être au hasard, je ne sais pas, 3, et se dire, vu que 3 fonctionne et que moins 15 c'est le produit des deux racines, alors l'autre racine c'est moins 5. Deux méthodes complètement complémentaires en utilisant ce X2 moins SX plus P. Autre méthode, X2 plus 2X, ça ressemble à X plus 1 au carré, donc ça fait moins 1 moins 15 moins 16 égale 0, super simple à factoriser. C'est un espèce de méthode par la forme canonique. Bon voilà, c'était juste pour vous faire un petit rappel, c'est toujours l'occasion. On trouve comme par hasard que 3 est racine, ça c'est mon préféré, se rendre compte que 3 est racine, moins 15 égale 3 fois X2, donc deuxième racine, X2 égale moins 5. Donc j'ai grand X égale 3, ou grand X égale moins 5. Top. Parlons un petit peu de ce qu'il en était dans l'énoncé. On me disait au début, positive number A. Pourquoi est-ce que je reviens là-dessus ? Parce que là, moi j'ai quoi ? X égale 3 ou X égale moins 5, j'ai surtout A puissance 3,5, qui est égale à A racine de A égale 3, ou A racine de A égale moins 5. Vous voyez où je veux en venir. A étant positif, ça c'est pas possible. C'est une source de solution qui est fausse. Donc pour conclure, qu'est-ce que je vais faire ? J'ai donc A3,5, A puissance 3,5, qui est égale à 5. Si et seulement si. Là je voulais vous le faire parce que c'est vrai que c'est pas non plus très commun en France de gérer ça comme ça. Donc petit rappel ici. X puissance A égale, je sais pas vraiment, alpha. Si et seulement si. X égale alpha puissance 1 sur A. Ça c'est un truc de cours qu'il faut absolument connaître. Bon, on se prend pas la tête. Tout est positif ici. Disons que tout est positif, pour pas s'embêter. Avec A alpha X positif, c'est vrai. Il y aurait plus de détails à faire sur les signes des 3, etc. Mais disons que si tout est positif, ça fonctionne. Vu qu'on le voit jamais dans tous les cas, je suis content de vous le donner ici. Mais voilà, il suffit de prendre la fraction inverse. C'est-à-dire que quand c'est X carré, vous prenez 1 sur 2, racine c'est 1,5. Et ça marche un peu pour tout en fait. Par exemple, ça me donne A égale 5 puissance 2 tiers. Unique solution en l'occurrence. C'est mon unique solution au problème. Et je suis bien content. Parce que moi c'est ça qu'on me demandait. On me disait, quel est le A qui vérifie ça ? Réponse E, 5 puissance 2 tiers. Donc on a vu un petit peu de primitives, avec une formule quand même beaucoup plus pratique, qui est celle-ci, je vous conseille de la retenir. Ça permet de retenir pas mal de formules d'un seul coup. Ensuite on pose notre problème. Qu'est-ce qu'on fait ? Deuxième étape. On se rend compte qu'en posant un changement de variable, on a un polynôme beaucoup plus simple à gérer. C'est un polynôme du degré 2. On trouve vite fait ses racines, soit avec le delta, soit une des astuces que j'ai montrées. Et on résout ensuite une équation beaucoup plus simple. L'idée étant, ça faut pas paniquer, c'est juste prendre la fraction inverse de la puissance pour trouver la réponse. Voilà, j'espère que c'était utile. Posez des questions s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye !

Une intégrale à borne variable !

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