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Théorème de Darboux
Dans ce cours, nous avons examiné une méthode pour démontrer le théorème de Darboux, qui est une extension du théorème des valeurs intermédiaires. Nous avons d'abord noté qu'il n'est pas trivial de prouver ce théorème, car la fonction dérivée n'est pas nécessairement continue. Ensuite, nous avons supposé que f'(A) est inférieur à f'(B), avec un réel Z compris entre les deux. Nous avons ensuite utilisé la notion de limite pour construire notre raisonnement. Nous avons montré que si une fonction est dérivable en A, alors le taux d'accroissement tend vers f'(A). En utilisant cette propriété, nous avons trouvé un epsilon qui nous permet de prouver que Z est compris entre les taux d'accroissement en A et B. Ensuite, nous avons montré qu'il existe un point Y tel que le taux d'accroissement en ce point soit égal à Z. Enfin, nous avons utilisé le théorème des accroissements finis pour montrer que Z appartient à l'intervalle des taux d'accroissement en Y. En résumé, nous avons montré que si f'(A) est inférieur à f'(B), alors tout réel Z appartenant à l'intervalle de f'(A) à f'(B) appartient à f'(Y), où Y est un point compris entre A et B. Nous avons appliqué cette méthode à une fonction spécifique, x²sin(1/x²), pour montrer que f est dérivable mais que f' n'est pas continue sur l'intervalle ouvert (0,1).
