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Rolle & Accroissements Finis

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons parler du point fixe en mathématiques, plus précisément des points attractifs. Nous avons une fonction f qui est dérivable sur l'intervalle [a, b], et nous supposons qu'il existe une constante k appartenant à [0, 1] telle que la dérivée de f soit inférieure en valeur absolue à k. Un point fixe est une solution gamma telle que f(gamma) = gamma.

Tout d'abord, nous montrons que ce point fixe est unique. Pour cela, nous posons g(x) = f(x) - x et utilisons le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'il existe au moins un point fixe. Ensuite, nous supposons qu'il y en a deux et utilisons le théorème des inégalités des accroissements finis (IAF) pour montrer qu'ils sont identiques.

Ensuite, nous considérons une suite définie par récurrence et souhaitons montrer qu'elle converge vers le point fixe gamma. Pour cela, nous utilisons à nouveau l'IAF pour encadrer u(n) - gamma et démontrer que cette suite converge vers 0, ce qui implique que u(n) converge vers gamma.

En conclusion, nous avons vu que le point fixe est unique, qu'il est attractif et comment utiliser le théorème du point fixe dans des exercices.

Salut à tous ! Une méthode super importante sur le point fixe. Le point fixe, vous le connaissez depuis très longtemps, notamment depuis la terminale en tout cas, avec les suites définies par récurrence, les fonctions définies en escalier, où là vous voyez de temps en temps, on avait une suite qui convergeait vers un point fixe, au contraire qui s'éloignait de ce point fixe, mais vous n'aviez jamais eu les outils pour comprendre qu'est-ce qui fait qu'on a un point récursif ou un point attractif, c'est ce qu'on va voir aujourd'hui. On a une fonction f qui est une dérivable de ab dans ab, et là où ça va être très important, on suppose qu'il existe k appartenant à 0,1, telle que la dérivée de f est inférieure en valeur absolue à k, et on appelle un point fixe une solution gamma telle que f de gamma est une gamma. On va vous montrer dans un premier temps que ce point fixe est unique, qu'elle admet un point fixe. Donc là l'astuce c'est hyper classique, il faut poser f de x moins x, et on utilise cette fonction là. Ensuite on veut nous montrer qu'il est unique, le caractère unique va venir du fait que la dérivée est forcément inférieure à k, et donc on va faire par l'absurde, on va supposer qu'il y en a deux, et on va montrer qu'ils sont identiques. Ensuite on considère une suite avec un premier terme qui est dans ab, donc dans cet intervalle qui vérifie tout ça, et on définit une suite définie par récurrence, un plus un égal à deux un, on veut montrer que un converge vers gamma, que gamma est forcément un point fixe. L'astuce, puisque vous l'avez vu pas mal de fois, c'est d'encadrer un moins gamma, de faire une récurrence sur un moins gamma. On va voir tout ça. C'est parti. Pour le point fixe, je l'ai dit, c'est vraiment très classique, on pose g de x égale f de x moins x. Cette fonction est bien dérivable, elle est dérivable donc continue, f de a est supérieure à a, puisque les images sont dans ab, donc j'ai forcément f de a moins a qui est inférieur à zéro, c'est-à-dire g de a est supérieur à zéro. Je fais exactement la même chose dans l'autre sens pour b, j'ai f de b qui est plus petit que b, ça veut dire que g de b est inférieur à zéro. Je peux appliquer le TVI, et je sais qu'il existe au moins un point fixe gamma tel que g de gamma égale zéro, c'est-à-dire tel que f de gamma égale gamma. Maintenant, on veut montrer qu'il est unique. On va supposer qu'il existe deux points fixes, tels que g de gamma 1 égale zéro, g de gamma 2 égale zéro, et qui sont distincts. C'est là où je vais appliquer le théorème des inégalités des accroissements finis. Donc j'ai gamma 1 moins gamma 2, qui, comme ce sont des points fixes, égale à f de gamma 1 moins f de gamma 2, et c'est là où j'applique mon IAF, mon inégalité des accroissements finis, c'est plus petit que k fois gamma 1 moins gamma 2. Et donc, comme gamma est inférieur à zéro en valeur absolue, ça veut dire que c'est inférieur strictement à gamma 1 moins gamma 2. Le strict est hyper important ici. Donc l'inégalité des accroissements finis, je ferai un petit topo ici pour que vous compreniez bien, ça veut dire que j'ai une pente maximale, et la courbe ne peut jamais localement dépasser cette pente. C'est ça que ça veut dire. Donc si j'ai f de x, f de y ici, f de x moins f de y, c'est pas forcément inférieur, la pente de ce qu'on appelle la corde entre les deux points est forcément inférieure à k, qui est un maximum qu'on ne peut pas dépasser. La pente ne peut jamais dépasser k. Donc cette inégalité stricte, évidemment, implique que gamma 1 moins gamma 2 est strictement inférieur à gamma 1 moins gamma 2, qui est donc forcément impossible, et donc j'ai gamma 1 qui est égal à gamma 2. Ensuite, pour la question 3, c'est là où je vous dis, vous l'avez vu un certain nombre de fois, c'est là où on peut avoir l'idée, c'est qu'on va démontrer que un moins gamma, valeur absolue, est inférieure à k puissance n fois u0 moins gamma. Ça, en terminale, au lieu de vous laisser dans la nature, on vous disait de démontrer ça par récurrence. Là, on ne vous le dit plus, c'est à vous de trouver tout ça. Évidemment, l'initialisation est vraie, si n est égal à 0, pas de problème. Maintenant, je vais faire l'hérédité. Comme d'habitude, je le redis à chaque fois, j'écris ce que je sais, et j'écris ce que je veux montrer. Je veux montrer que un plus un moins gamma est inférieur à k puissance n plus 1 u0 moins gamma. Donc, un plus un moins gamma, évidemment, comme gamma est un point fixe, gamma égal à f de gamma, et un plus un égal à f de un, je réutilise mon IAF, la clé de cet exercice, c'est d'utiliser l'inégalité des accroissements finis, et donc c'est inférieur à k fois un moins gamma par IAF, et un moins gamma, il est lui-même inférieur à k puissance n u1 moins gamma par hypothèse de récurrence. J'ai du k fois k puissance n, ça fait k puissance n plus 1. Mon inégalité, mon hérédité est vraie, ma démonstration de récurrence aussi, et donc j'en conclus que un moins gamma est inférieur à k puissance n fois u0 moins gamma. Or, k a la bonne idée d'être inférieur à 1 en valeur absolue, donc j'ai une suite géométrique qui tend vers 0. Par théorème d'encadrement, un moins gamma qui tend vers 0, et donc un tend vers gamma. Pour que vous compreniez bien pourquoi c'est un point attractif, je vais refaire tranquillement mon graphe. Imaginons que j'ai une fonction f, et il faut que la pente soit inférieure à 1, c'est ça qui va assurer le caractère attractif du point. Donc là, j'ai la droite Y qui est l'X, dans un exercice, c'est ce qui me sert pour faire ma fonction en escalier, et là, imaginons que j'ai une fonction f qui est de pente inférieure à 1 sur tout un intervalle. Imaginons qu'elle va faire comme ça. Donc là, je vois qu'elle est bien inférieure à 1, et donc là c'est ma fonction f, et là c'est la droite d'équation Y égale X. Par construction, je peux placer U0 n'importe où, ça ne change rien. Je vais converger vers ce point. Je calcule l'image U1, qui est ici. Ensuite, j'ai envie de le reporter sur l'axe adaptif, c'est à ça que me sert l'équation Y égale X. Je pose U1, qui est là. Là, j'ai ma fameuse fonction en escalier. Je continue le process, et on voit très bien que ça converge très vite vers mon point gamma, qui est ici, mon point fixe. Je pourrais prendre de l'autre côté, c'est pareil, ça fonctionne sans problème. Qu'est-ce qui fait que ça attire ? C'est le fait que la pente ici soit inférieure à 1. Si elle était supérieure à 1, on aurait l'effet exactement contraire, c'est-à-dire que le point, en faisant la fonction d'escalier, ça fuirait. Ce qui rend le caractère attractif du point fixe ou répulsif, c'est est-ce que la dérivée dans ce point est supérieure ou inférieure à 1. Maintenant, vous en savez plus sur le théorème du point fixe, et vous pourrez l'utiliser dans des prochains exercices, notamment si ça tombe en col ou en ds, parce que c'est un sujet très classique. Sous-titrage ST' 501

Théorème du point fixe

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