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Physique-Chimie

Physique

Moment cinétique

Dans cette vidéo, Théobald de Studio explique un exercice sur le pendule pesant. Le pendule est attaché au point O et oscille autour de l'axe OZ. On note J son moment d'inertie, G son centre de gravité, et D la distance OG. 

La première question demande de faire la liste des actions mécaniques appliquées sur le pendule et de calculer leur résultant et leur moment par rapport à l'axe OZ. Théobald explique que le poids du solide est P = -MGUY, car G et UY sont opposés. Le moment du poids est alors -MGDsinθUZ, car le poids tend à faire tourner le solide selon Uθ. En ce qui concerne la liaison pivot, son moment par rapport à l'axe Z est nul, et la force de la liaison pivot n'est pas encore déterminée. Ainsi, la force résultante est la somme du poids et de la force de la liaison pivot, et le moment résultant est -MGDsinθ.

Dans la deuxième question, il est demandé d'appliquer le théorème du moment cinétique pour déterminer l'équation différentielle du mouvement. Théobald explique que le théorème du moment cinétique s'applique par rapport à un axe fixe OZ. La dérivée du moment cinétique par rapport au temps est égale au moment résultant. L'équation du mouvement s'obtient donc en substituant les valeurs connues : θ + MGDsinθ/J * sinθ = 0.

La troisième question demande s'il est possible de retrouver cette équation en appliquant le théorème de la résultante cinétique. Théobald explique que le théorème de la résultante cinétique est essentiellement un PFD et fournit des informations sur les forces extérieures. Bien que l'on puisse obtenir des informations sur la force de la liaison pivot, il n'est pas possible de retrouver directement l'équation du mouvement en utilisant ce théorème. Cependant, en utilisant l'équation du mouvement, on peut déduire des informations sur la force de la liaison pivot, qui vaut MA-MG.

Le cours se termine avec une invitation à poser des questions dans les commentaires et une promesse de nouvelles vidéos à venir.

Bonjour à tous, c'est Théobald de Studio, et dans cette vidéo on va faire un exercice hyper classique, c'est celui du pendule pesant. Alors on a ce solide qui est attaché au niveau du point O, et qui va osciller puisqu'on va l'écarter d'une position θ et puis le laisser partir, et donc il va osciller comme ceci. Ce qu'on nous dit c'est qu'il est en rotation donc autour de l'axe fixe OZ. On note J son moment d'inertie par rapport à OZ, G son centre de gravité, et on pose D qui est la distance OG. La première question nous demande de faire la liste des actions mécaniques qui s'appliquent sur le pendule, et de calculer leur résultant et leur moment par rapport à l'axe OZ. Eh bien on est parti, mais avant ça j'ai juste refait un petit coup le schéma en rajoutant UR et UTθ pour être en coordonnées polaires. Donc on fait le bilan des actions mécaniques. Déjà on a le poids du solide. Le poids du solide c'est P qui vaut moins MGUY. Pourquoi moins ? Eh bien tout simplement parce que G et UY sont opposés, et donc le poids est opposé à UY. Donc moins MGUY. Quel est alors le moment du poids ? Eh bien pour calculer son moment, on doit faire norme, poids, bras de levier. La norme, pas de souci, c'est MG. Le bras de levier, à quoi est-ce qu'il correspond ? Eh bien le bras de levier, si on a notre point qui est comme ceci, le bras de levier va être la distance entre le point d'attache et la droite d'action de ma force, donc la distance L finalement. Alors L il vaut Dsinθ, puisqu'on a ici la distance D, et ici on a θ, petite formule de trigonométrie, et hop, L vaut Dsinθ. Donc on a notre moment. Le moment du poids c'est moins MGDsinθUZ. Alors pourquoi moins ? Eh bien tout simplement parce que le poids tend à faire tourner le solide selon Uθ. Selon Uθ, parce qu'à chaque fois qu'on applique le poids, on voit que ça va forcer le solide à se rapprocher le plus possible de cet axe-ci, donc dans les θ petits. Et donc finalement c'est bien un moins qu'on a. Et maintenant l'action exercée par la liaison pivot. Eh bien la liaison pivot est supposée idéale, donc son moment par rapport au Z est nul. Et sa force, on n'est pas vraiment en mesure de la déterminer pour l'instant. Donc la force résultante, on peut dire que c'est la somme du poids et de la force de la liaison pivot. Et le moment résultant, eh bien c'est moins MGDsinθ, puisqu'il y a uniquement le moment dû au poids. Dans la deuxième question, on nous demande d'appliquer le théorème du moment cinétique pour déterminer l'équation différentielle du mouvement. Eh bien le théorème du moment cinétique, il s'applique par rapport à un axe, l'axe OZ, qui attention, doit être fixe, c'est le cas ici, dans le référentiel TRS supposé galiléen. C'est important de noter ça sur votre copie. Il nous dit que la dérivée de LZ par rapport au temps est égale à ma somme des moments, donc à mon moment résultant. Mon moment résultant, on le connaît, c'est –MGDsinθ, mais ce terme-ci, on ne le connaît pas, et donc on va le calculer tout de suite. Donc mon moment d'inertie LZ, mon moment cinétique, désolé, LZ, c'est le moment d'inertie fois θ. Le moment d'inertie, on le donne dans l'énoncé. Donc mon moment cinétique, c'est Jθ, et donc la dérivée de mon moment cinétique par rapport au temps, c'est Jθ, puisque J est une constante. Et donc mon théorème du moment cinétique me dit que Jθ est égal à –MGDsinθ. Donc θ plus MGDsinθ sur J, fois sinθ, égale 0. On a bien l'équation du mouvement. La troisième question me demande est-il possible de retrouver cette équation en appliquant le théorème de la résultante cinétique. Le théorème de la résultante cinétique, c'est ni plus ni moins qu'un PFD. Et quelle information donne ce théorème ? Eh bien, si on applique le théorème du mouvement de la résultante cinétique, c'est MA qui vaut MG plus la force pivot, donc la forme des forces extérieures. En fait, on peut trouver des informations relatives à ma force de pivot, mais on ne pourra pas retrouver cette équation du mouvement. Et par contre, on peut retrouver des informations relatives à la force de ma liaison pivot, qui vaut MA moins MG. Et MG, on peut l'exprimer en fonction de θ. Et MA, on peut aussi l'exprimer en fonction de θ. C'est un petit peu plus compliqué, on peut l'exprimer en fonction de θ.2 et θ.3 en utilisant cette équation du mouvement. Mais ça, ça prend un peu de temps. Mais en tout cas, ce qui est sûr, c'est qu'à partir de cette équation, on peut trouver des informations relatives à la force de pivot. Et c'est à ça que sert le théorème de la résultante cinétique. Si vous avez des questions sur cet exercice, n'hésitez pas à les poser en commentaire. Et puis sinon, on se retrouve pour une prochaine vidéo.

Mouvement d'un pendule pesant

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