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Physique-Chimie

Physique

Approche énergétique

Aujourd'hui, nous allons établir l'équation du mouvement du pendule simple en utilisant les théorèmes énergétiques. Un pendule simple est un point matériel accroché à l'extrémité d'un fil tendu. Nous souhaitons exprimer l'énergie mécanique de ce pendule et justifier pourquoi elle est constante. 

L'énergie mécanique est composée de l'énergie potentielle (Ep) et de l'énergie cinétique (Ec). Nous pouvons l'écrire comme Ep = mgh + 1,5mv², où m est la masse, g est l'accélération due à la pesanteur, h est la hauteur de la bille et v est sa vitesse. La hauteur h du pendule peut être exprimée comme h = l - lcosθ, où l est la longueur du fil et θ est l'angle que fait le pendule par rapport à la verticale.

En utilisant cette expression de la hauteur, nous pouvons retrouver l'énergie potentielle de pesanteur : Ep = mgl(1 - cosθ). Maintenant, nous avons une expression de l'énergie mécanique complète, mais nous devons également prendre en compte l'énergie cinétique.

En utilisant les coordonnées polaires, nous pouvons exprimer le vecteur vitesse de la bille (om) comme om = lθ. En dérivant ce vecteur par rapport au temps, nous obtenons l'accélération angulaire : dθ/dt = θ'. La vitesse de la bille peut donc être écrite comme Ec = 1/2ml²(θ')².

Ainsi, l'énergie mécanique totale (em) s'écrit em = mgl(1 - cosθ) + 1/2ml²(θ')². Maintenant, nous devons montrer que cette énergie est constante. Dans le cas d'un mouvement conservatif, sans frottement, nous avons em = constante.

En dérivant em par rapport au temps, nous obtenons dem/dt = mglθsinθ + 1/2ml²θ'². Pour que dem/dt soit égal à zéro (pour avoir une grandeur constante), nous devons avoir gsinθ + lθ'² = 0. Cette équation est l'équation du pendule simple.

Bien que cette méthode ne soit pas nécessairement plus rapide que le principe fondamental de la dynamique, elle permet d'utiliser une approche énergétique différente qui peut être plus simple dans certains cas.

J'espère que cela vous a été utile. N'hésitez pas à poser vos questions dans les commentaires.

Bonjour à tous, aujourd'hui on va établir l'équation du mouvement du pendule simple en utilisant les théorèmes énergétiques. Donc ici on a le cas de figure que vous connaissez très bien qui est le pendule simple. Donc pour rappel, un pendule c'est un point matériel qui est ici, qui a une masse m et qui est accroché à l'extrémité d'un fil qui est tendu. Votre fil il est ici, il a une longueur petite l. On vous demande d'exprimer l'énergie mécanique, de justifier qu'elle est constante et de retrouver comme ça l'équation du mouvement. Alors ça c'est une des nombreuses méthodes qui peuvent être utilisées pour déterminer l'équation différentielle du mouvement et du coup déduire l'équation horaire en la résolvant. Donc ici on peut dire que l'énergie mécanique, comme vous savez, c'est Ep plus Ec, énergie potentielle plus énergie cinétique. Je peux écrire ça en fonction de la hauteur ici de ma bille et de son énergie cinétique, donc ça va être mgh plus 1,5 de mv². Et donc là ce qu'il nous faut c'est déterminer quelle hauteur va être la hauteur de la bille pour pouvoir déterminer ainsi son énergie potentielle de pesanteur. Donc ce que je vous propose c'est de prendre h égale 0 lorsque votre bille elle est à la verticale. Et donc ainsi on voit que cette longueur là ici ça va être l cosθ, donc finalement la hauteur de mon pendule ça va être h moins l cosθ. Donc ça nous donne ça, h est égal à l facteur de 1 moins cosθ, et donc on retrouve ainsi l'énergie potentielle de pesanteur qui va être mgl facteur de 1 moins cosθ. Maintenant on n'a toujours pas l'équation du mouvement, on a juste une expression de l'énergie mécanique complète, donc il faut qu'on se débrouille vis-à-vis notamment de l'énergie cinétique. Vous voyez qu'on a dit ici que c'était un demi mv², on n'a pas fait intervenir du tout la géométrie du problème, donc c'est ça qu'on va faire ici. On détermine qu'est-ce que ça vaut om en coordonnées polaires, om c'est l er, et on peut dériver ainsi, sachant que l est constante, donc j'ai juste à dériver le vecteur er. Je sais bien que la dérivée de er par rapport au temps c'est θ.eθ, ce qui nous donne l'expression de l'énergie cinétique qui va être 1 demi de m l²θ.². Finalement je peux écrire mon énergie potentielle totale, em est égal à mgl facteur de 1 moins cosθ plus 1 demi de m l²θ.², ça c'est l'énergie mécanique. Ensuite, il faut regarder ce qui se passe, parce que là on nous dit qu'il faut justifier que l'énergie mécanique va être constante. Dans tous ces cas de figure, vous savez bien ce qu'il faut faire, il faut déterminer pourquoi est-ce qu'on a un mouvement conservatif, et donc ça c'est avec les hypothèses du problème. On vous dit ici qu'on est sans frottement, et donc vous avez une évolution conservative, em est égal à constante. Si em est égal à constante, ça veut dire que je peux dériver ce truc-là par rapport au temps, et je dois trouver 0, c'est la définition d'avoir une grandeur constante. Ce qui me donne dem sur dt est égal à mglθ.sinθ, donc ça c'est pour cette partie-là, plus 1 demi de m l²θ.θ.². Donc si je dis que ça c'est égal à 0, vous voyez qu'il y a plein de termes qui vont se simplifier, il y a la masse qui apparaît des deux côtés, il y a l qui apparaît presque des deux côtés, il y a θ. qui apparaît des deux côtés, et donc ça vous donne gsinθ plus lθ² est égal à 0, qu'on peut écrire sur la forme θ. plus g sur lsinθ est égal à 0. Donc ça, ça doit vous parler, c'est l'équation du pendule simple, c'est une équation que vous allez beaucoup beaucoup retrouver, et donc on est content, on a réussi à trouver cette équation du mouvement. Alors vous allez me dire, oui mais c'est pas beaucoup plus rapide que le principe fondamental de la dynamique. C'est vrai, dans ce cas de figure on ne gagne pas spécialement beaucoup de temps, mais ça permet d'utiliser une autre méthode, et dans certains cas de figure, cette méthode d'équation différentielle avec une approche énergétique sera beaucoup plus simple. J'espère que ça vous aura été utile, n'hésitez pas à poser vos questions dans mes commentaires.

Équation du mouvement d'un pendule simple

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