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Physique-Chimie

Physique

Mouvement dans un champ de force centrale

Aujourd'hui nous abordons l'expérience de Rutherford qui consiste à bombarder des noyaux d'or avec un faisceau de particules alpha. La force répulsive qui intervient dans cette expérience est la force de répulsion coulombienne, car les particules alpha sont chargées positivement et repoussent les noyaux d'or qui sont également chargés positivement. L'expression de cette force est donnée par f = 2Ze² / (4πε0R²) selon ER. En utilisant la conservation du moment cinétique, nous pouvons montrer que la constante des aires R²θ est conservée. En observant le mouvement des particules à l'infini, nous pouvons déterminer que R²θ = VB0, où V est la vitesse de la particule à l'infini et B est le paramètre qui définit l'orbite. L'énergie mécanique de la particule est constante et peut être exprimée comme EM = ½MαR² + QQ / (4πε0R). L'énergie potentielle effective, qui permet de raconter le mouvement en une dimension, est donnée par EPF = QQ / (4πε0R). En utilisant ces expressions, nous pouvons déterminer l'ordre de grandeur de la vitesse initiale V0, qui est de l'ordre de 1,6 x 10⁷ m/s. Pour une collision frontale entre les particules et les noyaux d'or, l'énergie potentielle effective se simplifie et Rm, la distance minimale d'approche, peut être exprimée comme Rm = Ze² / (4πε0EM). En utilisant cette relation, nous pouvons obtenir une estimation de la taille du noyau. Cela permet de mesurer expérimentalement la taille des noyaux d'or.

Bonjour à tous, aujourd'hui on va faire un exercice sur l'expérience de Rutherford qui est un grand classique des forces centrales. Donc le but de l'expérience ici, c'est de bombarder des noyaux d'or à l'aide d'un faisceau de particules alpha. Les particules alpha, vous vous souvenez, c'est des noyaux d'hélium et donc on vous montre un peu le schéma de l'expérience ici. Là, vous avez votre noyau d'hélium et vous avez des particules alpha qui arrivent, qui bombardent ces noyaux d'hélium. Ce qu'on considère ici, comme c'est souvent le cas dans des exercices comme ça, on a plusieurs particules, on considère que le noyau d'or est fixe parce qu'il est beaucoup plus lourd que les particules alpha, donc on va se placer dans un référentiel qui est centré sur ce noyau. On vous donne quelques grandeurs ici, qui sont importantes. Donc ça change un peu des exercices sur les satellites, là ça va être un exercice sur les forces électrostatiques, mais vous savez que ça marche exactement pareil, donc on va retrouver le même type de formule. Premièrement, on nous demande quelle est la force répulsive qui intervient dans l'expérience. Et qu'une seule force répulsive ici, c'est la force de répulsion coulombienne, puisque vous avez un noyau d'or qui est chargé plus, vous voyez il est chargé Ze, c'est uniquement le noyau, et les particules alpha c'est des particules He² qui sont chargées plus aussi, et vous savez que quand vous avez deux particules chargées plus qui arrivent l'une vers l'autre, ces particules se repoussent, donc c'est bien une force qui est répulsive. Donc maintenant, quelle est son expression ? Ça va être f qui est égal à petit Q fois grand Q sur 4π ε0 R² selon ER, donc je vois qu'elle est bien répulsive comme elle est selon plus ER, c'est-à-dire qu'elle va dans ce sens-là, et comme vous avez la charge petit Q qui est égale à 2E et la charge grand Q qui est égale à grand Z fois E, ça vous donne que f c'est 2Ze² sur 4π ε0 R² selon ER. Là on a pas mal de questions différentes. La première question qu'on nous demande c'est de montrer la conservation de la constante des R, grand Z est égal à R²θ, et on vous demande de l'exprimer en plus en fonction de B et de V0. Donc vous savez que la constante des R, ça vient de la conservation du moment cinétique, vous savez que c'est la même chose juste dit différemment, c'est une démonstration qui est très classique, donc là ça va marcher pareil pour toutes les forces centrales en plus. Donc le moment de ma force par rapport à O, ça va être OM vectorel f, et ça c'est nul parce que OM et f sont collinaires. Donc maintenant si je regarde mon moment cinétique L0, c'est OM vectorel mαV, c'est une constante du mouvement parce que si j'applique le théorème du moment cinétique, ça me fait que dL0 sur dt est égal à la somme des moments des forces, et la somme des moments des forces est nulle ici. Voilà, et donc là je peux le calculer ici. Là je suis en coordonnées cylindriques, donc OM, c'est RER, je suis en coordonnées polaires, pardon, OM c'est RER, et mα, ça va être R.ER plus Rθ.Eθ. Alors oui, là c'est vrai que je supposais que le mouvement était déjà plan, on peut faire la démonstration de la même manière en montrant que le moment cinétique est toujours orthogonal à V. Donc L0, ça va nous donner R2mαθ.Ez, c'est une constante du mouvement, et donc là je peux isoler R2θ, parce que la masse est constante également, et donc ça me donne que C est égal à R2θ, c'est une constante. Maintenant je regarde ce qu'il se passe à l'infini pour trouver l'expression de C. Pourquoi à l'infini ? Parce qu'à l'infini c'est simple. Vous voyez, comme ma particule arrive de l'infini ici, en fait elle arrive selon une direction constante, elle arrive selon la direction parallèle ici, à l'axe. Qu'est-ce que ça me donne tout ça ? Ça me donne que OM, c'est x∞EX plus BEY, et V, c'est –V0EX lorsque je suis à l'infini, et donc ça me donne que OM vecteur LV, c'est BV0EZ. Donc là je retrouve directement la constante des R qui est VB0, tout simplement. Ensuite on nous dit montrer que l'énergie mécanique de la particule est constante, bon là vous avez une force centrale, c'est une force qui est conservative, donc l'énergie mécanique est constante, c'est uniquement en utilisant le théorème de l'énergie mécanique. Donc on vous demande de l'écrire sous la forme EM est égal à ½ de MαR² plus EPF de R, ça c'est la forme avec l'énergie potentielle effective. L'idée de l'énergie potentielle effective, c'est que ici, c'est comme si vous aviez un mouvement 1D où tout ne dépend que de R. Donc là on retrouve une vitesse selon R et là une énergie potentielle effective selon R. C'est ultra pratique parce que là on a un point qui est 2D pour le moment, vous voyez, ça dépend de R et de θ, et avec cette forme-là on va le mettre uniquement selon R notre mouvement. Donc f, c'est QQ sur 4π0R²ER, je sais que c'est moins le gradient de l'énergie potentielle, ça c'est important de se souvenir de ce moins, et il y a beaucoup de moins dans tous les sens dans cette formule, donc faites vraiment attention. Ça me donne que moins DEP sur DR c'est QQ sur 4π0R², et donc l'énergie potentielle c'est QQ sur 4π0R plus une constante. En général la constante on la prend égale à 0, vous la prenez comme vous voulez, ici c'est avantageux parce que ça veut dire que mon énergie potentielle est nulle lorsque R tombe vers plus l'infini, c'est la signification physique de ça, il faut juste y penser. Donc l'énergie mécanique c'est ½MαV² plus QQ sur 4π0R, et là j'ai mis l'énergie mécanique sous cette forme-là, maintenant il faut que je fasse intervenir les grandeurs cinématiques, donc V c'est R.ER plus Rθ.Eθ, V² ça me donne R.² plus R2θ.2 qui est aussi égal à C2 sur R2, comme on l'a déterminé avant. Donc vous voyez c'est ça qui permet de nous débarrasser complètement du θ. Et donc finalement je reconnais ici ½MαR.², donc ce que je voulais, l'énergie cinétique si je me ramène à une dimension, et ça me fait ½MαC2 sur R2 plus QQ sur 4π0R, ici c'est l'énergie potentielle. Vous voyez ce terme-là en fait il appartient rigoureusement à l'énergie cinétique, mais nous on le met avec les calculs qu'on a faits, on peut le ranger dans la catégorie de l'énergie potentielle effective avec la vraie énergie potentielle. Donc l'idée pourquoi c'est intéressant, si je trace l'énergie potentielle effective j'ai ce type de courbe là, une courbe en 1 sur R plus 1 sur R2, donc ça ressemble à une fonction inverse avec une pente plus ou moins marquée. Et donc là c'est des graphes que vous connaissez bien, l'analogie c'est d'imaginer qu'il y a une petite bille qui glisse sur cette courbe d'énergie potentielle, et vraiment le mouvement que décrit la bille si vous imaginez qu'elle glisse sur cette courbe, c'est exactement le type de mouvement qu'aurait le satellite. Alors par contre, on est bloqué, parce qu'on ne peut pas, notre énergie potentielle effective, vous voyez comme là j'ai un carré, elle ne peut pas dépasser l'énergie mécanique totale, et l'énergie mécanique totale se conserve. Donc là c'est l'énergie mécanique qui est positive, donc là, si je suis là, ça veut dire que mon satellite, il va avoir toutes ses positions à la permise. Maintenant on nous demande l'énergie mécanique de la particule en fonction de Mol5 et 0, bon ça on l'a dit, l'énergie mécanique se conserve, du coup ça me fait 1,5 de MαV0², si je regarde ce qui se passe en l'infini. Ensuite on nous demande de déterminer un ordre de grandeur de V0, sachant qu'on nous donne EM, bon là il suffit juste d'isoler cette expression-là, de faire attention aux conversions, parce qu'on vous donne tout en mégaélectronvolts, et donc ça me fait V0 est égal à 1,6 fois 10 puissance 7 mètres par seconde. On vous demande est-ce que c'est cohérent de traiter le cas classiquement, la vitesse de la lumière dans le vide c'est 3 à 10 puissance 8, on est inférieur à 10% de la vitesse de la lumière dans le vide, donc oui c'est cohérent de traiter ce cas classiquement, c'est lorsqu'on approche des 90% de la vitesse de la lumière qu'il faut se poser des questions quant à la relativité restreinte. Alors maintenant on travaille sur un cas bien particulier qui ne représente pas toutes les particules, mais qui représente un certain type de particules qui arrivent, c'est un choc frontal en fait, elles arrivent et repartent dans la direction opposée. Donc on vous demande de donner l'énergie mécanique simplifiée, donc là le choc frontal ça va être ici, c'est des particules qui arrivent comme ça, et qui repartent dans l'autre sens. Pour ce cas là vous voyez que B est nul, donc si B est nul, C est nul aussi, et donc là je me retrouve à un cas très simplifié puisque dans mon énergie potentielle effective c'est uniquement l'énergie potentielle d'opposanteur. Et donc on demande Rm, la distance minimale d'approche de la particule qu'on exprime en fonction de Z, E, Mα et V0, donc en Rm, R' égale à 0, puisque c'est un minimum de la vitesse, et donc je vais avoir Ze² sur 2πy0 Rm, qui est mon énergie mécanique totale, et donc comme je connais E, M, je connais Z, je connais E, je peux exprimer Rm, qui est égal à Ze² sur 2πy0 E, M. D'ailleurs je pense que c'est un 4πy0. Ah, j'ai fait l'erreur partout... C'est à partir de là que j'ai fait l'erreur, hop, là ça va être un 4, donc là c'est aussi un 4, et là c'est encore un 4, c'est 4πy0 de la force d'interaction qu'on aime bien, il ne change pas. Donc Rm, on trouve que c'est 4,6 x 10-14 m, et donc forcément, c'est ce qui arrive si je bombarde le noyau d'or avec des particules, donc ça va être ce Rm, cette distance minimale d'approche, ça permet de donner une bande supérieure de la taille du noyau. Vous voyez que là, dans tous ces problèmes-là, on n'a pas du tout utilisé le rayon du noyau, on a juste dit, je m'approche plus ou moins près. Donc là, on n'a pas pris cette trajectoire-là, on a pris la trajectoire qui vient comme ça et qui repart dans l'autre direction, on pourrait étudier aussi cette trajectoire-là qui est un peu plus compliquée, mais ça nous permet, si on détermine Rm, d'avoir une bande supérieure pour la taille du noyau, et c'est exactement le but de l'expérience de ressort fort, c'était de déterminer la taille du noyau d'or. Voilà pour ça, j'espère que ça vous aura été utile, et on se retrouve bientôt pour une autre vidéo de Force Centrale.

Expérience de Rutherford

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