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Physique-Chimie

Physique

Mouvement dans un champ de force centrale

Aujourd'hui, nous allons faire un exercice sur deux satellites sur la même orbite. L'idée de cet exercice est de déterminer quand le satellite B pourra rattraper le satellite A. Pour cela, le satellite B doit passer d'une orbite circulaire à une trajectoire elliptique. Dans un premier temps, nous montrons que la vitesse des satellites est constante sur une orbite circulaire grâce à la force gravitationnelle de la Terre. En utilisant les coordonnées polaires, nous obtenons les équations de la vitesse. Nous pouvons alors déterminer la vitesse V1, qui est la première vitesse cosmique, et la période du mouvement. Ensuite, nous étudions le changement d'orbite qui ne peut se faire qu'à l'apogée ou au périgée de l'ellipse. En effet, la vitesse est orthogonale à R sur une ellipse, ce qui signifie que le changement d'orbite ne peut se produire qu'à ces points spécifiques. Nous voulons également que le satellite B rattrape le satellite A après un seul parcours de l'ellipse. Pour cela, nous devons trouver le lien entre les vitesses V2 et V1 et l'angle α. En utilisant les lois de Kepler pour les ellipses, nous pouvons exprimer la période en fonction des autres grandeurs. En comparant les temps mis par les satellites A et B pour revenir à leur position initiale, nous obtenons une équation reliant V2, V1 et α. En utilisant l'énergie mécanique constante sur l'ellipse, nous pouvons éliminer un paramètre et obtenir une expression de V2 en fonction de V1 et α. Il est important de noter que la racine carrée doit être prise uniquement si l'argument est positif, ce qui limite α à être inférieur à 234°. En conclusion, cet exercice nécessite des calculs et une compréhension des concepts d'énergie mécanique et des mouvements elliptiques.

Bonjour à tous, aujourd'hui on va faire un exercice sur deux satellites qui sont sur la même orbite. Donc ici l'idée de cet exo, on arrête avec les forces électriques, maintenant on retourne aux forces centrales d'interaction gravitationnelle. L'idée de cet exo c'est qu'on a deux satellites ici, le A et le B. Il y en a un qui est devant l'autre, c'est le satellite A, et donc nous on va se poser la question de quand est-ce que le satellite B va pouvoir rattraper le satellite A. Évidemment pour ça il ne faut pas que le satellite B reste sur la même orbite, ça ne va pas marcher sinon il est derrière, il est derrière, on n'y peut rien. Et donc pour ça on va le faire basculer sur une trajectoire elliptique. Donc tout d'abord on nous demande de montrer que la vitesse V1 des satellites est constante. Donc là j'ai uniquement la force gravitationnelle de la Terre, donc MA c'est moins GM M sur R1 carré ER, on est sur une orbite circulaire. Donc si je passe en coordonnées polaires, A ça va être moins V carré sur R ER plus dV sur dt Eθ, donc je projette simplement le principe fondamental de la dynamique sur Eθ et sur ER, et donc ça me donne dV sur dt égale à 0, donc une vitesse constante, et sur ER je vais avoir M V carré sur R est égal à moins G M sur R au carré, donc je vais pouvoir déterminer V1. Donc ça c'est une question qui tombe souvent en fait, c'est que si vous avez des forces centrales et qu'en plus vous avez un mouvement circulaire, vous êtes forcément à vitesse constante, donc c'est un mouvement circulaire uniforme et c'est plus simple. Donc V1 c'est racine de grand GM sur R1, on l'a déjà vu ici c'est la première vitesse cosmique, et la période ça va être 2 pi R1 sur V, et si je mets ça, les deux formules ensemble, ça va me donner 2 pi R1 à la puissance 3,5 sur racine de GM. Question 4, alors on vous dit qu'on change brusquement la vitesse du satellite, elle passe de V1 à V2 et la trajectoire de B devient elliptique. Je vous demande de montrer que le changement d'orbite ne peut se faire qu'à l'apogée ou au périgé de l'ellipse. Voyons un peu ce que ça veut dire pour nous, donc déjà je sais que la vitesse est orthogonale à R sur le cercle, sur une ellipse ma vitesse c'est R.ER plus R.ETA. Donc si j'ai R. égale à 0 au départ, lorsque j'allume le moteur pour faire une force de poussée, je suis forcément dans un extrêmement de R. Et donc là j'ai ma vitesse qui est orthogonale. Là je vous ai représenté une ellipse, la trajectoire sur une ellipse, et vous avez le lastre ici qui va être un des deux foyers, et ça va vous donner que R.mine et R.max, la somme des deux, ça fait toute l'ellipse ici. Là vous êtes à l'apogée et là vous êtes au périgé. Donc vous voyez comme je suis à ce moment là où la vitesse est orthogonale à R, je suis forcément soit là soit là, c'est les deux seules possibilités. Ensuite on vous dit qu'on souhaite que B rattrape A au terme d'un seul parcours de l'ellipse, et on vous demande de donner le lien entre V2, V1 et α. On vous demande d'exprimer uniquement en fonction de ces trois grandeurs là, donc certainement on va devoir travailler un peu sur les expressions qu'on a pour pouvoir éliminer des grandeurs qui ne sont pas importantes pour nous. Donc ce que je sais sur les ellipses, quelque chose qui est assez simple à utiliser, c'est les lois de Kepler, qui vous dit que T2 sur A au cube, c'est 4π² sur GM. C'est des lois qu'on peut établir dans le cas où vous avez un mouvement circulaire, mais qui sont valables pour les ellipses. Et donc je peux isoler comme ça la période, mettre 2π à la puissance 3 demi sur racine de GM. Donc qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que là mon point B il est sur son ellipse, si je reprends ici, il va sur l'ellipse, il va sur l'ellipse et au bout d'une période T, il revient à sa position initiale. Donc il faut regarder ce qu'a fait le satellite A pendant ce temps. Donc il revient à la position initiale AT. A c'est la même chose, sauf que A était déjà en avance. Donc qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que lorsque B est parti sur cette ellipse là, lorsque B était au niveau de ce point là, A était là. Donc A va rejoindre le point de départ de B quand il aura parcouru 2π moins α sur le cercle en termes d'angle. Donc ce temps là, ça va être 2π moins α R1 sur V1 et donc 2π moins α sur 2π fois T1. Et donc ça c'est le TA. Donc forcément, moi ce que je veux, si mon satellite B il a rattrapé mon satellite A, c'est dire qu'ils arrivent à la même position au bout de son ellipse à lui. Et A, quand il a parcouru ce qu'il lui reste à parcourir sur le cercle, et donc dans ce cas là, je dois avoir égalité entre Tb, donc ça c'est T de B et T de A. Et donc ça me donne 2π A à la puissance 3 demi sur racine de GM est égal à 1 moins α sur 2π T1. Et donc A c'est 1 moins α sur 2π fois 2 tiers fois R1, à la puissance 2 tiers, pardon, fois R1. Donc ça c'est les caractéristiques de l'ellipse. Sauf que, nous ici, on nous demandait de l'exprimer uniquement entre V1, V2 et α, donc il faut éliminer en fait ce paramètre A. Donc pour ça, on peut passer par l'énergie mécanique, on sait qu'elle est constante sur l'ellipse et qu'elle vaut moins GM, grand M, petit M sur 2A, et c'est également 1 demi de M V2 carré, moins GM, M sur R1. Donc V2 carré, ça nous fait 2GM sur R1, moins GM sur A. Et avec 1 en fait, je sais que V1 carré, c'est GM sur R1. Donc ça me donne l'expression de V2 carré, qui va être 2V1 carré moins GM sur A. Vous voyez, on a tout mis en fonction de V1. Et donc ça, ça me donne 2V1 carré moins ce truc-là. 1 moins α sur 2π à la puissance moins 2 tiers, fois GM sur R1. Donc là, j'ai juste remplacé le A. Donc ça me donne un lien entre V2 et V1. J'ai V2 est égal à V1 racine de 1 moins α sur 2π à la puissance moins 2 tiers. Ça, c'est vrai, je peux prendre la racine uniquement, uniquement, uniquement si l'argument de la racine est positif. C'est important pour la suite. Donc là, c'est si l'argument est positif, je peux prendre la racine. Donc voilà, pour éliminer ce A, on est passé par l'énergie mécanique qui est constante sur l'ellipse. On a fait le lien entre le V2 et l'énergie potentielle. Donc α sur 2π est plus petit que 1, donc j'ai bien V2 qui est plus petit que 1. Donc il faut que V2 freine par rapport au départ. Mais comme V est pas constante sur l'ellipse, ça ne vous dit pas spécialement grand-chose de ce qui va se passer le long de la trajectoire de B. Quant à est-ce que c'est possible de rattraper A ou pas, pour pouvoir prendre la racine ici, la raison mathématique pour ça, c'est que pour prendre la racine ici, il faut que l'argument soit positif, et donc il faut que α soit plus petit que 44,1 rad qui est 234°. Si α est plus grand, ça veut dire que B ne peut pas rattraper A. Vous voyez, 234°, c'est assez grand comme angle, donc c'est assez logique. Vous imaginez bien que si on met, mettons A qui est déjà là, par exemple. Bon, c'est pas tout à fait ça, parce que là, vous avez 180°, donc au-dessus, peut-être qu'on va être à peu près là. Vous pouvez faire toutes les ellipses que vous voulez. B ne va pas rattraper A, parce que A est beaucoup trop proche. En fait, c'est ça un peu l'idée à retenir derrière. Donc physiquement, on voit que la solution qu'on a trouvée va être valable que si on peut prendre la racine. Voilà pour cet exercice, qui est le dernier exercice sur l'effort central. C'est un exercice qui est tombé aux euros de CCP, je crois. Donc vous voyez, c'est pas spécialement simple. Il y a pas mal de calculs à faire, même si c'est assez guidé. Vous avez ces questions-là qui sont assez calculatoires. Il faut bien comprendre comment ça fonctionne pour l'énergie mécanique, l'énergie potentielle, etc. Voilà pour ça, à bientôt !

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