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Théorèmes de Convergence

Ce cours traite de deux théorèmes qui permettent de comparer et d'étudier des fonctions de manière efficace, sans les étudier en détail. Le premier théorème est celui de la comparaison, qui dit que si une fonction f tend vers l'infini et qu'une autre fonction g est plus grande que f, alors f va pousser g vers l'infini. Le théorème d'encadrement, également appelé "théorème des gendarmes", est le second théorème présenté. Il stipule que si deux fonctions f et h encadrent une fonction g et tendent toutes deux vers la même limite, alors g tend également vers cette même limite. Le cours utilise des exemples pour illustrer ces théorèmes, notamment avec des graphiques pour mieux visualiser les concepts. Ces théorèmes sont particulièrement utiles pour résoudre des exercices de mathématiques impliquant des limites de fonctions.

Sur les fonctions, on va retrouver le même genre de théorème qu'on avait sur les suites. Des théorèmes qui vont nous permettre de comparer des fonctions et éviter d'étudier en détail des fonctions moches en pouvant juste s'inspirer de fonctions plus jolies qui ne sont pas très loin. Alors il y aura deux théorèmes au total. Ça va être un théorème de comparaison et encadrement. Donc le théorème de comparaison comme avant. Théorème d'encadrement, c'est celui qu'on appelait les gendarmes. On peut aussi l'appeler les gendarmes. Théorème de comparaison, si on a deux fonctions f et g, telles que f tend vers plus l'infini et g est plus grande que f, alors f va pousser g. Si f tend vers plus l'infini, elle va aussi pousser g vers plus l'infini, comme ça qu'il dégage. Je vous montre un exemple. Voilà mon brave exemple. J'ai f, brave fonction. Si vous regardez plus près, là j'ai très dézoomé. F, ma brave fonction, x². Alors j'ai pris x² divisé par 4 plus x, uniquement sur x positif. Je n'ai pas envie de me prendre la tête avec les autres intervalles. Donc j'ai coupé un petit peu. Très bien, ça c'est f. Je vais prendre maintenant g²x qui va être écrit un peu pareil. Vous pouvez voir ce que c'est ici. Hop, si je décale un peu. F c'est x² sur 4 plus x. Et g²x, ça va être la même chose, sauf que j'ajoute plus x² sur 32. Hop, je cache un peu les coulisses. G c'est ça. Boom. On y est, même si j'écarte un peu les axes comme ça. G est toujours au-dessus, vu que g c'est f plus quelque chose. En gros, plus en plus un terme qui est de plus en plus gros, c'est f plus x². Je comprends que si j'ai déjà montré que f tend vers plus infini, c'est sûr que g va décoller avec elle. En gros c'est un peu l'idée. Voilà, bon c'est assez simple. Ce n'est pas l'exemple du siècle encore une fois. C'est vraiment l'idée très intuitive qu'il y a derrière ce théorème. Qu'est-ce qui vous dit d'autre? C'est la même chose de l'autre côté. Si vous avez f qui est plus grande que g, et cette fois-ci f tend vers moins l'infini, elle va plus vers le bas g également vers moins l'infini. Incroyable. Le second théorème, c'est cet exemple-là que je vous ai mis. Le second théorème, c'est le théorème des gendarmes. Donc le théorème d'encadrement si vous voulez. Et l'idée c'est comme on a vu pour les suites. Si on a f et h qui viennent encadrer un petit peu g, et que f et h tendent vers la même chose, alors g va se faire aussi comprimer et tendre vers la même chose. Voilà, c'est l'idée. Donc bon, après écrit proprement en mathématiques, c'est ça qu'on dit. Pour trois fonctions f, g, h, telles que f plus petit que g plus petit que h, quel que soit x sur l'intervalle qu'on a défini. Si pour un réel L, on a la limite de f et h qui est égale à L, alors ça sera aussi la limite de g. Donc petite illustration graphique. Toujours très important, les illustrations graphiques. Alors on a un truc comme ça. Imaginons que j'ai une limite 3. Voilà. J'ai une limite 3. Je vais remettre ça à l'échelle. Est-ce que je peux mettre ça à l'échelle correcte? Voilà, ça c'est pas mal. J'ai une limite 3. J'ai 3 plus 5 sur x. Voilà, je vous ai mis une fonction comme ça, qui tend vers 3 en plus infini, clairement. Voilà, qui va s'écraser sur 3. Je vais mettre une autre. 3 moins 5 sur x. Si vous voulez voir encore une fois, je peux vous le montrer. C'est ici. Donc mes deux exemples. J'ai 3 plus 1 sur x, 3 moins 5 sur x. Et qu'est-ce que je vais ajouter? Je vais ajouter un petit sinus un peu spécifique qui va me donner le graphe suivant. Il se trouve que là, j'ai 3 plus 5 sinus. En gros, sinus x sur x. Mais alors attendez, sinus x est compris entre moins 1 et 1. C'est pour ça que ma fonction est comprise entre les deux fonctions parfaitement. Ma fonction... Oups, si je décale ça ici. Ma fonction sinus, elle est parfaitement comprise entre mes deux hyperboles. Et donc si je vais voir en plus infini ce qui se passe, je peux dire, oui, elle se fait complètement écraser. Les deux autres foncent vers 0, elles écrasent celle-ci avec elle. On a bien une illustration du terrain des gendarmes. C'est un peu les gendarmes qui prennent le prisonnier et qui apprisonne ces sinus ici et qui l'amènent avec eux. Voilà, donc très simple, très basique. C'est comme pour les suites, mais appliqué aux fonctions. C'est très très très pratique en exo, donc vraiment à retenir. Dès que vous avez la possibilité d'encadrer une fonction, donc en général pour le terrain des gendarmes, ce sera toujours pour montrer une limite finie. Si ensuite vous voulez par contre dégommer une fonction à l'aide d'une autre, là ce sera le terrain de comparaison dès qu'il y a une limite plus infinie à démontrer. Donc je peux le rajouter ici. Voilà, vous avez l'illustration finale. N'hésitez pas à me poser des questions dans la FAQ si vous n'êtes pas sûr de quelque chose ou si vous avez des commentaires à faire. Et je vous dis à la prochaine. Bonne journée, bonne soirée. Ça dépend du contexte j'imagine.

Comparaison et encadrement

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