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Théorèmes de Convergence

La croissance comparée est la théorie selon laquelle l'exponentielle l'emporte sur n'importe quelle puissance de x. En d'autres termes, si vous divisez E2x par x puissance n, la limite est toujours l'infini. L'exponentielle domine complètement sur les x puissances n. La propriété des puissances est utilisée pour appliquer cette théorie à l'exponentielle. On utilise également un changement de variable pour démontrer que la quantité tend vers 0 lorsque x tend vers moins l'infini. Cette méthode peut également être utilisée pour trouver des solutions simples à certains calculs de limites.

Un autre point très important de ce sous-chapitre sur les limites de fonction, c'est la croissance comparée. La croissance comparée, en mots simples, c'est l'idée que l'exponentiel démonte n'importe quelle puissance de x. En gros, vous pouvez prendre l'exponentiel x, diviser par x puissance ce que vous voulez, genre E2x divisé par x puissance 7000, dans l'idée de se dire, bon allez, si je mets x puissance 7000, ça va bien finir par tendre vers 0. Eh ben non, toujours pas. L'exponentiel va toujours dominer complètement sur les x puissances n, c'est-à-dire que quand vous divisez E2x par x puissance n, la limite de ça, c'est toujours plus l'infini. L'idée, c'est que ça monte tellement vite vers plus l'infini que ça peut emporter et dominer n'importe quelle puissance de x. Il y a ensuite la version équivalente, donc il y a la version simple en haut avec un x puissance 1, qui est simple, que je vais utiliser pour démontrer en l'occurrence ce que je vais démontrer, puis utiliser pour démontrer la numéro 2. Donc là, au final, la seule démonstration qu'on fera, c'est celle de la première propriété ici. Et on pourra trouver les autres par démonstration, ça sera aussi des démonstrations, mais ça sera en utilisant ce premier résultat. La deuxième propriété, c'est celle qui dit qu'en moins l'infini, elle démonte tout aussi, elle s'écrase tellement vite sur 0 qu'elle emporte tout sur son passage. Voilà, je vais juste vous rappeler un petit peu le graphique, juste pour que vous ayez une idée quand même. Le graphique, il nous dit... Voilà le graphique de l'exponentiel, donc en rouge uniquement, hop. En rouge uniquement, l'exponentiel monte très très vite et s'écrase très très fort, très vite. Genre arrivé à moins 5, je suis déjà complètement écrasé à 0. Donc l'idée, si je prends par exemple x2, l'idée c'est que l'exponentiel va finir toujours par dépasser x puissance n. Bon là en fait, carrément, à partir de 0 on est déjà au-dessus. Donc c'est fini, elle ne dépassera plus jamais, enfin x2 n'a plus de chance. Et ok, donc ce qu'on peut voir aussi c'est avec x3 par exemple, si je vous mets x3 ici, donc au début l'exponentiel est au-dessus, x3 reprend le dessus un petit peu. Et puis, quand vous rezoomez, vous voyez qu'il y a un moment, à partir de je ne sais pas 100, où la rouge repasse par au-dessus. En gros l'exponentiel finit par être au-dessus de x3. Et ça vous pouvez le voir même en détendant un peu l'échelle. Voilà, on voit ça comme ça. Elle finit par être au-dessus, et donc, ben, elle domine complètement. Ça c'est l'idée générale graphique. Donc ça écrase tout en 0, et donc là vous avez beau descendre très très très fort, vraiment à l'infini, votre x3 là il descend super vite. Si vous le multipliez par l'exponentiel, ça va se faire écraser. Le pouvoir d'écrasement de l'exponentiel est vraiment très fort. Pour la démonstration de la formule de croissance comparée, on va d'abord se contenter de démontrer la toute première. Bon, on veut démontrer que E2x sur x tend vers plus infini, on ne sait pas trop le faire directement, et là on va pouvoir utiliser la puissance du théorème de comparaison. Qu'est-ce qu'il nous dit ce théorème de comparaison? C'est que si on arrive à comparer E2x sur x à quelque chose qui tend vers plus infini, on pourra en déduire que E2x sur x tend vers plus infini. L'idée ça serait de montrer que ça c'est plus grand que x par exemple. Un truc très simple qui tend vers plus infini qu'on connaît bien. Alors il y a une astuce qui dit qu'en fait, vous verrez pourquoi, si on met x sur 2 ça marche mieux et c'est plus simple pour moi de faire les calculs. Donc imaginons, est-ce que j'ai ça si vous voulez? On va dire quel que soit x, alors positif strict, on ne veut pas diviser par 0. Est-ce que je peux avoir ça? Ça je l'aurais, si et seulement si j'ai, multiplié par x qui est positif de chaque côté sans changer l'inégalité, parce qu'il est positif, il serait négatif, ça serait problématique. Si et seulement si, l'exponentiel x est plus grand que x2 sur 2. Et si et seulement si, E2x moins x2 sur 2 est plus grand ou égal à 0. Alors ça c'est intéressant. La magie du montage, alors pourquoi c'est intéressant? Parce que si je pose f quand je vois ça, j'ai envie de montrer que ça c'est vrai. Qu'est-ce que je fais pour montrer que ce truc est vrai? Ça ne tombe pas du ciel, donc il faut poser une fonction. Je pose une fonction f, soit f la fonction telle que, et je pose ça. Je vais l'appeler f tel que, quel que soit x, f2x soit égal à E2x moins x² sur 2. Là il ne suit plus que l'étudiant, et on essaie de voir si on peut montrer que ce truc là, ce f, va être toujours positif. Ce n'est pas très compliqué. Alors à nouveau ce petit bloc qui vient d'apparaître, ce sera ce bloc d'études de dérivation. Je sais que f est dérivable, donc je dis que ce n'est pas très compliqué, mais il y a quand même une petite nuance. f est dérivable, donc je peux la dériver, f'2x égale E2x moins x. C'est là, à ce niveau ici du calcul, qu'on comprend pourquoi j'ai mis le x2 sur 2. J'ai ajouté le 2 au début parce que quand je dérive ça me fait un truc plus joli. J'ai f'2x égale E2x moins x. Ok, incroyable. Mais ça, je ne sais pas, ce n'est pas évident le résultat de ce truc là. Peut-être qu'il faut que j'aille plus loin dans l'étude et que j'étudie f' elle-même. Je peux dire que comme f' est dérivable, alors f' elle-même est égale à E2x moins 1. Ça, je connais. Pourquoi je connais? Je sais qu'exponentiale est croissante. Comme elle est croissante, entre 0 et x, si x est plus grand que 0, E2x est plus grand que E0 qui est égal à 1. Donc E2x moins 1 est positif. À partir de ça, je peux construire un tableau de variation complet. Ça, c'est idéal. Alors, on peut le remplir ensemble. Maintenant, j'ai ça. Je peux dire que je suis entre 0 et plus infini. f' est toujours positif. On vient de le démontrer. Ça veut dire que f' elle-même est croissante. Très bien. f' commence à quoi? f' de 0, donc je l'ai ici, je vais regarder. f' de 0, c'est E de 0, 1, moins 0. Donc ça fait ce truc-là en 0. Ça fait 1, moins 0. Ça fait 1. Idéal. Ça, ça veut dire que, je peux en déduire tout de suite, quelles que soient x, positif, f' de x, et en fait, super-égal à 1, qui est positif strict. Parfait. Si f' est positif strict, tout ce que j'ai à faire maintenant, c'est dire f' est strictement croissante. Maintenant, comme il faut, on remonte. Et on regarde. C'est très bien tout ça, mais f' c'est quoi? f' de 0, c'est quoi? J'ai f' de x ici, donc f' de 0, ça va être E de 0, moins 0, égal 1. Même chose. Donc ici, je vais pouvoir écrire 1 dans mon tableau. Et considérer que, quels que soient x, positif ou nul, f' de x est donc positif ou nul. Et donc, je peux conclure. Revenir à l'équivalence qu'on avait écrite tout en haut. Donc, ça c'est vrai. Si et seulement si, cette chose est vraie. Si et seulement si, cette chose est vraie. Donc, par le théorème de comparaison, je peux conclure que E de x sur x tend vers plus infini. Par comparaison. Bref, voyez toujours avec votre prof la rédaction la plus adaptée, ce que lui préfère. Ce que votre prof veut, en gros, s'il veut des petits mots, des virgules, des trucs spécifiques, faites-le, c'est lui qui vous met les points, donc c'est lui qu'il ne faut pas embêter, il ne faut pas énerver. Pour la démonstration générale avec un entier n quelconque qu'on fixe, on va essayer d'utiliser ce qu'on vient de démontrer pour E de x divisé par un grand x, et le faire apparaître dans l'expression. On va utiliser d'abord cette idée ici, cette propriété sur les puissances, que vous connaissez bien. On va appliquer cette propriété des puissances à l'exponentiel. On va l'appliquer non pas à 10, mais à l'exponentiel, et on va l'utiliser pour a égale x sur n et b égale n. En effet, x sur n fois n égale x, donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va écrire x égale x sur n fois n, et on va pouvoir diviser ça comme ça. Pour quelle raison je fais ça? Je fais ça pour l'unique raison que je veux avoir quelque chose qui est en puissance n, mais d'un seul bloc. Je veux rentrer l'exponentiel dans la puissance n, donc c'est ma manière de faire. Et là je commence à me dire que ça ressemble un petit peu à du E de x sur x. Un petit peu. Pour le faire de manière vraiment propre, ce qu'il faudrait faire, c'est écrire posons grand x égale petit x sur n, puis remarquons par ailleurs que si x tend vers plus infini, il y en a toujours grand x qui tend vers plus infini. Ça c'est très bien. Si je fais ça, je commence à avoir un truc qui s'approche. Alors malheureusement, en dessous, là j'ai pas x sur n, j'ai x tout courant. Il va falloir que je fasse x divisé par n ici fois n, pour compenser. C'est ce que je vais faire dans l'étape d'après, et je me rends compte ici que si j'écris x sur n, j'impose le x sur n exprès, parce que je veux repérer qu'ici j'ai un x et un x, pour appliquer mon résultat précédent. Donc je l'impose, je fais apparaître le n. Mais ça serait faux de faire ça, on peut pas faire en mode apparaître un truc quand ça nous arrange. Enfin on peut, mais il faut le compenser. C'est-à-dire que si je mets un x sur n ici, un sur n, il faut que je fasse un x sur n. Donc c'est-à-dire qu'il va me rester un petit x sur n ici, et quand je le sors de la puissance, ce que ça va me donner au final, c'est x, donc ça sera n en dessous ici, x 1 sur n. Donc si je regarde bien, ce n puissance n peut s'intégrer ici, et se divisera avec celui-là pour retrouver un x tout simple. Pourquoi est-ce qu'on fait tous ces jeux d'écriture? Parce que enfin, quand j'ai fait ça, je peux retrouver un genre de E de grand x sur grand x. Et là c'est bon. Quand j'ai un E de grand x sur grand x, je peux appliquer mon résultat précédent. Donc si je l'écris, ça donne E de x sur x puissance n, quand j'écris avec mon écriture de changement de variable grand x, E de grand x sur x puissance n x une constante. Et donc ça, ça tend vers plus l'infini, donc sa puissance n tend vers plus l'infini. Et donc le tout, quand grand x tend vers plus l'infini, il ne faut écrire que ça, ça je vous l'ai mis ici, c'est-à-dire aussi que grand x tend vers plus l'infini, c'est pour que vous ne vous oubliez pas, tend vers plus l'infini. Fin de la démonstration. On utilise ce qu'on a déjà construit absolument, on ne recommence pas à zéro. Ça demande de faire un petit effort, de reconnaître le truc en faisant un changement de variable, en utilisant les propriétés de la puissance, mais au moins, c'est vite fait rapide. Entraînez-vous à le faire, ce changement de variable, ce genre de truc, c'est vachement important. Pour cette dernière étape, ça va être un peu la même idée qu'avant, on va encore faire un changement de variable. C'est-à-dire qu'on va s'inspirer de ce qu'on vient de démontrer pour montrer le résultat qu'il nous faut. Donc ici, ce qu'on veut démontrer, c'est ça, que quand x tend vers moins l'infini, ce truc-là tend vers zéro, cette quantité. En gros, c'est l'idée que j'ai racontée au début, l'exponential écrase en zéro aussi. Donc, x tend vers moins l'infini, ça nous inspire pour faire grand x égale moins petit x. On prend un changement de variable très très simple, on se pose l'opposé. Si je fais ça, le x puissance n devient moins x, le tout puissance n. Je peux séparer les deux, le moins un puissance n et le x puissance n. Petite e de x devient petite e de moins grand x. Et ensuite, je reconnais grâce à la propriété des puissances que ça, je peux l'écrire de cette manière-là. Le e de moins x, si vous voulez, c'est égal à 1 sur e de x. Ça, c'est très classique. Et donc, j'ai ce truc-là. Or, je viens de démontrer juste avant que e de x sur x puissance n tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. Donc ce machin-là tend vers 0. Tout bêtement. Et donc j'ai bien ce truc-là qui, quand grand x tend vers plus l'infini, ce qui correspond à petit x tend vers moins l'infini, tend vers 0. C'est démontré. C'était une longue vidéo. Voilà, c'était beaucoup de démonstrations. C'était un peu plus long que d'habitude. N'hésitez pas, si vous avez besoin de précision sur le changement de variable, à poser des questions, venir discuter avec nous. C'est une méthode pratique. Il faut la connaître dans le cadre de ces démonstrations-là, mais c'est bien aussi d'avoir ça en tête pour les exos, pour certains calculs de limites, où des fois faire un petit changement, voire autrement une expression, pourra aider à trouver une solution très simple. Voilà, je vous dis à la prochaine et courage pour tout!

Croissance comparée exp et ln

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