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Théorèmes de Convergence

Ce cours parle des limites de fonction, plus précisément de la composition de fonctions. L'exemple donné est celui de la limite de la racine de 1+ex lorsque x tend vers l'infini. Pour trouver cette limite, on décompose la fonction en deux parties: 1+ex et la racine de cette fonction. On utilise ensuite un théorème mathématique qui nous autorise à faire cette composition. La limité de la racine est prouvée en utilisant le comportement de la fonction racine envers la limite de 1+ex. Le théorème stipule que si la limite de f(x) tend vers b et que la limite de g(x) tend vers 1 quand f(x) tend vers b, alors la limite de g(f(x)) tend vers 1. En résumé, ce cours explique comment utiliser la composition de fonctions pour trouver des limites, en utilisant un théorème mathématique.

Un point très important sur le chapitre des limites de fonction, la composition. Alors avant même de faire toute définition théorique j'ai envie de commencer par un exemple très concret, très simple, celui-ci. Alors quand on voit ce truc là qu'est ce qu'on se dit? On va vouloir prendre la limite quand x est environ l'infini de racine de 1 plus e de x. L'idée de la composition c'est de se dire que ça c'est un peu un gros bloc qu'on va décomposer en petits morceaux. Donc les deux morceaux ça serait par exemple d'abord on a x auquel on associe la fonction 1 plus e de x. C'est mon premier bloc, ma première fonction. A laquelle ensuite je surajoute racine. Donc je fais racine de la fonction précédemment définie. Donc si j'appelle f de x la fonction 1 plus e de x. Je vais pouvoir dire que mon tout ici, le total, c'est en fait racine de f de x. Donc je suis en train de chercher racine de f de x. Je vais essayer de comprendre en gros comment les limites vont fonctionner. Intuitivement, je sais que 1 plus e de x, ça converge quand x est environ l'infini, c'est à dire 1 plus 0. Donc si je peux rajouter discrètement ma racine, j'ai envie de dire que ça fait 1. C'est ça l'idée de la composition. Sauf que ce que je viens de faire là, c'est à dire se rajouter un peu en screed là, hop hop hop, on rajoute une petite racine, ça fait un truc bien. C'est pas intuitif. C'est super intuitif mais c'est pas automatique, il faut le démontrer. Et donc il y aura un theorem de maths qui va vous dire en gros, qui va vous autoriser à faire ça. Rien de nouveau, rien de complètement fou et qui sort complètement de l'ordinaire. C'est juste qu'il faut que vous sachiez que c'est pas c'est pas genre automatique. C'est bien d'avoir l'autorisation entre guillemets et la validation théorique. Et donc c'est ça qu'on va faire ici. Donc la manière de le penser, la manière de le rédiger, je vais vous le rédiger un peu mieux, va être la suivante. Alors, voilà comment on va le rédiger en général dans les exos et tout. Après je vous remonte la définition officielle. Comme limite de 1 plus e2x quand x est en moment infini. On prend le premier objet, celui que j'ai appelé f ici, égal 1. Et comme on connaît aussi un résultat sur le comportement de la racine. Cette fois-ci on veut le comportement de la racine non pas en moment infini, mais en la valeur qu'atteint 1 plus e2x. Moi je ne veux pas faire racine de moment infini, je veux faire racine de la chose qui est en moment infini. Je veux faire racine de la chose qui va atteindre 1 plus e2x. Et donc en fait 1 plus e2x ça vaut 1, donc on veut savoir quelle est la limite de racine en 1. Donc je vais appeler ça grand x ici. Si j'ai un grand x qui est envers 1, quelle est la limite de racine de grand x? Si vous voulez on pourrait même remplacer grand x par truc. Si j'ai truc qui est envers 1, est-ce que racine de truc est envers 1? Enfin est envers quelque chose. Oui, envers 1. Là même, vous savez quoi, je vais même le faire. On va remplacer grand x ici par truc. Je vais vraiment vous donner l'idée que c'est en fait, quand on met un x ça va vraiment dire, ça va vous aider à conceptualiser un peu plus. Donc l'idée, si on a racine, limite de truc qui est envers 1 de racine de truc c'est 1. Super, il se trouve qu'au dessus j'ai justement défini un truc, pas spécifique, qui s'appelle en gros 1 plus e2x. Donc c'est ça en gros ce qu'on fait. On dit on a ce truc là, on a cette chose là, limite de 1 plus e2x égal 1, ça c'est un truc qui est envers 1. Or je sais que racine, c'est un truc, quand le truc est envers 1, ça, ça est envers 1 également. C'est comme ça qu'il faudrait le rédiger. Donc vous ne mettrez pas truc bien sûr, vous mettrez grand x ou petit u, ça dépend. Enfin juste pour indiquer que ce n'est pas le même x, qu'on ne parle pas de la même chose qu'au dessus, mais juste qu'on parle du principe général du comportement de la fonction racine. Vous ferez comme votre prof dit, encore une fois, vous mettez un u grand x. Donc on vous dirait, comme on a ce premier résultat, sur le comportement de la seconde fonction, celle qui vient se superposer à f, en le point vers lequel tend f, vers le point 1, alors on peut bien conclure que la combinaison des deux fait 1. Voilà, pour la rédaction c'est ça en gros. Et donc si je conclue, en fait le théorème vous dit, quand on a pour a, b, c, soit 1 réel, soit plus infini ou moins infini, les deux fonctions f et g, si on a la limite de f2x quand x est envers a égal b, c'est à dire ici pour moi c'était a égale moins l'infini dans l'exemple au dessus, b égale à 1, et la limite de grand x, quand x est envers b, petit 1, quand grand x est envers petit b, égale 1, g de grand x, g ici étant racine, si cette limite vaut c, alors en fait la limite du tout, bien composée, c'est à dire g de f2x, quand x est envers moins l'infini, quand x est envers a, égale c. En gros on a le droit de faire en deux étapes. Tout ce que ça dit, donc la formule est un peu moche, toute la définition est un peu bizarre, mais ça dit que ce truc très intuitif que vous avez envie de faire. Voilà, n'hésitez pas, toujours une petite question dans la FAQ si besoin, et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Limite des fonctions composées

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