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Théorèmes de Convergence

La méthode pour déterminer les limites infinies des polynômes et des fonctions rationnelles est de factoriser par le terme de plus haut degré, également appelé le terme de Claudegris. Cette technique permet de résoudre les indéterminations et déterminer la limite facilement. Pour les polynômes, on factorise par x^4 et on obtient 1+4/x-2/x^3, qui tend vers 0 en plus/moins infini, et donc la limite est plus infinie. Pour les fonctions rationnelles, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de Claudegris, et on fait attention au signe. En cas d'erreur, il suffit de vérifier la factorisation. Cette méthode est simple et efficace et il est important de la maîtriser en s'entraînant.

On va regarder maintenant la méthode pour déterminer les limites en plus et moins infinies des polynômes et des fonctions rationnelles. Ça tombe bien, ça c'est vraiment très simple en fait. La technique c'est factorisé par le terme de Claudegris. On va se forcer tout le temps à faire ça. Donc on a une première fonction qui est un polynôme, G2x qui est la x4 plus 4x sub-2x. On voit bien qu'a priori on a une forme indéterminée si on parie, puisque là en plus infini ça s'étend vers plus infini, plus infini, moins infini, donc la somme des deux c'est indéterminé. En moins infini, pareil on aura un problème puisque ça s'étend vers plus infini, moins infini, bon bref on a un souci. Donc la méthode c'est toujours la même, je factorise par le terme de Claudegris. Donc il n'y a que lui qui va compter, c'est ça si on résume en une phrase, c'est que la seule chose qui va compter c'est lui, peu importe les autres, c'est que lui qui va déterminer la limite. Donc je factorise par x4, ça me fait 1 plus 4 sur x pour faire 2x puissance 3, moins 2 sur x au cube. L'intérêt c'est que ça va tendre vers 0, que ce soit d'ailleurs en plus l'infini ou moins l'infini. Donc la somme des trois ça va tendre vers 1 et du coup x4 ça va tendre vers plus l'infini. D'ailleurs que x tend vers plus ou moins l'infini c'est le même résultat. Donc par produit, j'obtiens que la limite c'est la même, limite de g en plus et moins l'infini ça va être plus l'infini. Maintenant pour une fonction rationnelle qui a une quotient de deux polynômes c'est exactement la même méthode. On factorise par le terme de Claudegris en haut et en bas. Donc là bon, numérateur il n'y a rien à faire puisqu'il n'y a qu'un seul terme, 2x². Mais dénominateur, je vais factoriser mon 1-x par le terme de Claudegris, c'est x. Donc je dis que c'est x, alors je me rends compte que j'ai fait une erreur, c'est x facteur de... de moins 1 plus 1 sur x, du coup c'est moins 1 plus 1 sur x... Ouais tout à fait, donc ça va tendre vers moins 1. Donc là quand je factorise, mon x² s'amplifie partiellement avec mon x, il me reste 2x sur moins 1 plus 1 sur x, donc ça ça va tendre vers moins 1. Et donc par quotient, il faut juste que je fasse attention au signe, donc 2x ça tend en moins l'infini vers moins l'infini, moins l'infini divisé par moins 1 ça fait plus l'infini, et au contraire en plus l'infini il se passe exactement le contraire, donc là ça sera moins l'infini. Petite erreur de signe. Je vérifie que tout est bon, oui c'est ça. Donc du coup h2x va tendre en moins l'infini vers plus l'infini, et en plus l'infini vers moins l'infini. Donc voilà, si on résume c'est vraiment très simple, je vais faire des erreurs de calcul, mais du coup oui, pour les polynômes et pour les ponctions rationnelles, je vais juste factoriser par le terme de plus haut degré, et tout de suite ça va résoudre et ça va lever toutes mes indéterminations. Voilà pour cette méthode qu'il faut absolument maîtriser, donc entraînez-vous là-dessus si c'est pas clair, parce que ça, ça marche à tous les coups.

Forme indéterminée : utilisation du terme plus haut degré

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