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Théorèmes de Convergence

La croissance comparée est une méthode utile pour étudier les fonctions. Elle consiste à comparer les croissances de différentes fonctions pour déterminer leur comportement en cas d'extrêmes. Dans ce cours, on étudie deux fonctions, E de X sur X et H, en utilisant la croissance comparée. La première fonction tend toujours vers plus infini, même si N est très grand. La seconde fonction est plus complexe mais on peut utiliser un changement de variable pour la ramener à la croissance comparée de référence. En général, l'exponentielle l'emporte sur toutes les puissances de X, tandis que le logarithme perd. Il est important de retenir ces références pour pouvoir lever la détermination facilement.

Dernière méthode très utile, utiliser la croissance comparée. Ça peut servir très souvent. La première fonction qu'on nous demande d'étudier, E de X sur X. En moins l'infini, il n'y a pas de souci. En plus infini, de base, on a une forme indéterminée. Par croissance comparée, E de X l'emporte sur toute puissance de X. Dans tous les cas, même si N est très grand, ça tendra toujours vers plus infini. Ensuite, on a une deuxième fonction, H, qui est un peu différente. En moins l'infini, j'ai ce truc là qui tend vers plus infini. Maintenant, qu'est-ce qu'on fait du X de X? Je sais que par croissance comparée, E de X sur X, en plus infini, tend vers plus infini. Je vais poser un changement de variable, je pose X égale à moins X. Quand X tend vers moins l'infini, petit x, c'est-à-dire que X tend vers plus l'infini. En l'écrivant comme ça, le moins d'E de X, je peux dire que c'est 1 sur E de moins X, et je me retrouve avec mon X sur E de X, qui est l'inverse de ma croissance comparée de référence. Donc l'inverse de l'infini, c'est 0. Donc ça, ça va tendre vers 0. Par composition des limites, ce moins 2X de 2X en moins l'infini va tendre vers 0. L'idée est toujours la même, et l'exponentielle qui l'emporte. L'exponentielle tend vers 0, elle l'emporte sur X, quoi qu'il arrive, ou n'importe quelle puissance de X. Et le X puissance 4 tend vers moins l'infini, enfin moins l'infini tend vers plus l'infini. Le E de 2, c'est une constante, ça ne va pas bouger. Donc du coup, par somme, j'en déduis que ma fonction, alors je sais plus si c'était K ou H, je crois que c'est K, K de X tend vers plus l'infini quand X tend vers moins l'infini. Voilà, en fait le terme qui va compter finalement c'est le X puissance 4. Donc la croissance comparée, ça peut être très utile. Il y a l'exponentielle à retenir, l'exponentielle l'emporte devant toute puissance de X, le ln au contraire perd, enfin toute puissance de X l'emporte toujours par rapport au logarithme, par rapport à l'n. Donc quelle que soit la puissance du logarithme. Donc voilà, bien penser à utiliser ces croissances comparées de référence, ça nous permet de lever très facilement la détermination. Donc si vous avez la moindre question, n'hésitez pas à aller sur la FAQ. Voilà pour cette méthode.

Limites : la Croissance comparée

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