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Dans cette vidéo, le professeur explique comment résoudre cinq exemples de limites mathématiques complexes, destinées aux étudiants de niveau terminale++ et de préparation. Le premier exemple implique des racines et l'utilisation de quantités conjuguées pour simplifier l'expression, avec une astuce consistant à factoriser par le terme de plus haut degré. Le deuxième exemple implique des taux d'accroissement et la dérivée pour résoudre l'expression indéterminée, tandis que le troisième exemple utilise la partie entière pour encadrer l'expression afin de résoudre la limite. Le quatrième exemple utilise de nombreuses racines et une quantité conjuguée pour simplifier l'expression, tandis que le cinquième exemple divise l'expression en deux parties et utilise les taux d'accroissement pour résoudre l'expression indéterminée, en trouvant les limites des deux parties séparément.

Bonjour à tous, je vais corriger des exercices pas faciles sur les limites. Là, c'est niveau un peu terminal++ pour ceux qui veulent continuer les matches l'année prochaine en prépa. Là, c'est 5 exemples vraiment plutôt complexes, où il y a une forme d'indétermination qui est assez forte. On va les regarder un par un, c'est principalement destiné à ceux qui veulent préparer l'année prochaine. Première limite, on a des racines un peu partout. Quand on voit des racines, il faut penser à l'intérêt quantité conjuguée, parce que les racines je ne peux pas faire grand chose avec. Là, regardons, ça ne coûte rien, ce terme est envers plus infini, celui-là est envers moins infini, donc forcément plus infini moins infini, je ne sais pas ce que ça fait. C'est quoi l'intérêt de la quantité conjuguée? Le vrai intérêt, c'est que ce moins qui me dérange va se transformer en plus quand je vais faire a-b fois a plus b. On le voit ici quand je fais ma quantité conjuguée, ici ça va être un plus et du coup ça ne va pas être dérangeant, parce que je vais avoir plus infini et plus infini. Allons-y, je fais a-b fois a plus b, il faut que je le mette au dénominateur aussi pour que l'expression reste la même. Ça me fait du x plus racine de x moins x quand je mets les carrés, a carré moins b carré. Et au dénominateur, ça fait la même expression mais avec un plus. Là ça se simplifie, ça me fait racine de x sur racine de x plus racine de x plus racine de x ici, donc là c'est plus infini sur plus infini, j'ai toujours une forme indéterminée. La petite astuce qu'il faut avoir, c'est de se dire, je vais essayer de factoriser par le terme de plus haut degré. Là ce n'est pas du tout une fonction polynomiale, mais on va essayer de factoriser par racine de x pour essayer de simplifier les choses. Ce n'est pas évident, ici j'ai du racine de x, là j'ai du racine de x, et ici je vais forcer la factorisation. C'est là l'astuce qui n'est pas évidente. Je force la factorisation, je factorise par x ici, ça fait x plus le facteur de 1 plus racine de x sur x. Et ensuite comme j'ai un produit de racine, je peux sortir indépendamment le racine de x qui se retrouve là. Et du coup tout se simplifie, j'ai racine de x sur racine de x, et là j'ai un terme, c'est beaucoup plus simple, j'ai 1 sur... Ce terme là racine de x sur x c'est 1 sur racine de x, donc ça tend vers 0, pas de problème. 1 plus ce terme là, ça tend vers 1, racine de tout ça, ça tend toujours vers 1, et 1 plus 1 ça tend vers 2, donc finalement ça tend vers 1 demi. Donc mon expression, ce n'était pas du tout évident à voir, elle tend vers 1 demi. Donc ça c'était le premier exemple, deuxième exemple, on a x puissance n plus 1 moins a puissance n plus 1 sur x puissance n moins a puissance n, quand x tend vers 1, toujours regardez la limite parce que là ici x tend vers 1 et pas vers plus infini. Donc là on voit bien que ça fait 0 sur 0 immédiatement, donc c'est toujours indéterminé. Alors la petite astuce là c'est de se dire, ah mais moi ça me fait penser un peu à des taux d'accroissement tout ça. Alors, le premier taux d'accroissement, les taux d'accroissement et la dérivée. Le premier taux d'accroissement que je peux exploiter c'est x puissance n plus 1 moins a puissance n plus 1 sur x moins a. C'est pas tout à fait pareil, mais c'est déjà un bon début. Ça je l'identifie sous la forme f de x moins f de a sur x moins a, en posant f égale x puissance n plus 1. Donc c'est parfait, je reconnais la définition de la dérivée, quand x tend vers 1, ça tend vers f prime de a, f est parfaitement dérivable, il n'y a pas de problème sur r, donc ça tend vers n plus 1 fois a puissance n. De la même manière, je vais poser g de x égale x puissance n, et ce x puissance n moins a puissance n sur x moins a, c'est mon taux d'accroissement que je reconnais, ça tend vers g prime de a, c'est à dire n fois a puissance n moins 1. Et là, l'astuce qui n'est pas facile, c'est de décomposer mon expression comme un quotient de taux d'accroissement. Donc le premier, et en fait ça veut dire je fais apparaître artificiellement x moins a en haut et en bas. Et donc en fait, ça tend vers f prime de a, ce qu'on a dit tout à l'heure, et ça tend vers 1 sur g prime de a, parce que c'est l'inverse, et quand je fais par produit sur les limites, je fais mon produit, et donc ça tend vers n plus 1 fois a puissance n sur n fois a puissance n moins 1, ça se simplifie, et ça me fait n plus 1 sur n fois a. Donc ça pareil, ça ne s'inventait pas du tout, il fallait bien poser ce truc là pour qu'on puisse aboutir au résultat. Troisième limite, avec la partie entière. Donc la partie entière, c'est pas très compliqué, il faut bien avoir en tête qu'on agit par encadrement, il faut l'encadrer. Donc déjà à quoi ça sert la partie entière, à quoi ça ressemble? C'est ça, c'est la fonction d'escalier, vous avez déjà dû voir plusieurs fois, et en fait finalement c'est une troncature, c'est pas un arrondi, c'est une troncature, c'est à dire que quand j'ai 2,58, ça sera 2, 2, la partie entière de x ça sera 2, donc on prend le chiffre avant la virgule. Donc l'encadrement dans lequel on part, c'est la partie entière x, y compris entre sa partie entière et sa partie entière plus 1. Donc par exemple dans mon exemple, si je fais 2,58, c'est plus grand que 2, et c'est plus petit que 3. Attention l'inégalité large est ici, parce que 2,00 par exemple, sa partie entière c'est 2 aussi, par contre là on a une inégalité stricte. En l'occurrence ici ça ne change rien, mais il ne faut pas se tromper dans l'ordre. Donc là j'exploite, moi ce que je veux quand même c'est encadrer partie entière, c'est pas x, donc je pars de cet premier encadrement, bon voilà, donc ça ça me permet de ne rien toucher, et j'exploite celui de droite pour isoler e2x, et du coup j'ai e2x qui est plus grand que x-1, si je fais passer le moins 1 de l'autre côté. Et donc j'aboutis à ma partie entière qui est bien encadrée, je multiplie par x pour avoir l'encadrement de x, e2x, et là tout simplement je vois que c'est plus grand que x-1x, deux produits de fonction qui tendent vers plus l'infini en plus l'infini, donc par théorème de comparaison, mon expression est plus grande qu'une expression qui tend vers plus l'infini, donc elle-même elle tend vers plus l'infini. Donc là c'est pas très très dur une fois qu'on a bien encadré ma partie entière. Ensuite, celle d'après c'était la D avec pas mal de racines. Là on a la dose de racines, donc ça va être un peu comme tout à l'heure. Là ce qu'il va falloir utiliser quand même, c'est encore une fois la quantité conjuguée, donc c'est cette expression là qu'on cherche. Alors déjà regardons quand x tend vers A qu'est-ce qui se passe, ça tend vers 0, ça tend vers 0, ça tend vers 0. Donc tout tend vers 0, on a bien une forme indéterminée. Donc ce qu'il faut, on va décomposer en deux morceaux, on a une fraction, là on a bien envie de dire c'est ce terme là, et ensuite ce terme là. On va essayer de décomposer chacun des deux. Donc le premier, j'ai perdu le fil. Donc le premier, je m'en occupe, celui-ci. Ça fait racine de x moins racine de A sur racine de x-A fois racine de x plus A, ici. J'essaie de décomposer, je vois le x²-a², j'ai bien envie de dire que c'est x plus A fois x moins A, en utilisant la propriété lianté à un marquable, a²-b². Ça, ça me fait penser vraiment à un taux d'accroissement, ce truc là. Et celui de droite, là, ce morceau là, en fait, je vais pouvoir le simplifier du coup. Il est x-A, ça annule, et il me reste 1 sur racine de x plus A. Donc celui-là, le terme, je l'ai appelé B, ce terme là, lui, il tend vers 1 sur racine de 2A, et l'autre, lui, il tend aussi vers 1 sur racine de 2A, et là, j'ai mon taux d'accroissement. Donc je vais m'occuper de ça, mon taux d'accroissement. Donc là, j'aimerais faire apparaître mon taux d'accroissement, c'est quoi? C'est racine de x moins racine de A sur x-A, et pas racine de x-A. Donc là, je vais faire une bête décomposition, je le fais apparaître, mon x moins A, et j'annule ici. Et donc là, j'ai mon taux d'accroissement, écrit comme ça, et là, ça s'est simplifié, ça fait racine de x moins A. Donc ça, ça tend vers 0, quand x tend vers A, et ça, ça tend vers la dérivée du coup de ma fonction, f prime de A, j'ai pas posé, et avec f, il y a la fonction racine, donc ça fait 1 sur 2 racine de A. Donc finalement, ça fait 0 fois une constante, donc finalement, par produit, ça tend vers 0, ce truc là. Donc mon grand A, il tend vers 0. Mon grand B, comme je l'ai dit tout à l'heure, il tend vers 1 sur racine de 2A, alors je sais pas pourquoi j'ai mis 0, c'est pas du tout 0, ici, c'est bien 1 sur racine de 2A, 1 sur racine de 2A, voilà, donc j'ai mon terme B. Mon terme B, lui, c'était, c'est bien ça, ça tend vers 1 sur racine de 2A, et c'est A moins B, n'oublions pas, ici, il y avait 1 moins, donc là, finalement, toute mon expression, A moins B, ça tend vers moins 1 sur racine de 2A. Donc finalement, il y avait beaucoup de racines, il fallait séparer en deux les deux expressions, et on voit que ça tend vers moins 1 sur 2 racines de 1.

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