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Limites de Suites

Dans ce cours, on explique la définition mathématique d'une limite en mathématiques. L'objectif est de trouver le plus petit entier n0 tel que, pour toutes les valeurs de la suite au-delà de ce rang, elles soient supérieures à un certain réel a. Cela signifie que même si le réel a est très grand, il existe un rang à partir duquel toutes les valeurs de la suite seront supérieures à a. Pour trouver n0, on résout une équation et utilise la partie entière du résultat pour s'assurer que n0 est un nombre entier. La définition complète de la limite est illustrée par un exemple de suite qui tend vers l'infini. Bien que les définitions formelles puissent sembler difficiles, elles sont importantes pour comprendre les limites en mathématiques.

Cette fois on va revenir à la définition même d'une limite, ce que les élèves n'aiment pas trop, mais pour tous ceux qui continuent les maths l'année prochaine c'est hyper important. Donc vous vous effleurez un peu le concept en terminale, voire même un peu plus, et après c'est quelque chose que vous maîtriserez l'année prochaine pour ceux qui continuent. On va essayer de voir avec des exemples comment ne pas avoir peur de la définition formelle d'une limite avec les psylones. On nous définit une suite un égale 3n plus 2. Et là ce qu'on veut montrer c'est que, je suis l'énoncé, pour tout réel a directement supérieur à 0, je veux déterminer le plus petit entier naturel n0 tel que si n supérieur à n0, ça veut dire que un supérieur à a. Maintenant il faut essayer de le traduire ça en français, c'est la définition mathématique. C'est sous-entendu, je prends un réel a, mais qui peut être aussi grand que je veux, peu importe si il vaut 1 million ou 1 milliard et qu'il est très très grand, je veux montrer qu'à partir d'un certain rang n0, la suite est au dessus de cette barrière. 1 million, 1 milliard, etc. Donc si quelle que soit la hauteur que je me fixe, aussi haute que je veux, à partir du moment où je dépasse cette hauteur là, c'est la définition même d'une limite en plus d'infini vers plus d'infini. C'est ça qu'on va essayer de montrer. Donc a supérieur à 0, c'est mon hypothèse. Je vais essayer de résoudre un supérieur à a, et il faut que je trouve un entier n0 à partir duquel c'est toujours vrai. Donc très bien, je résous mon une équation, ça fait que 3n plus 2 supérieur à a, donc 3n supérieur à a moins 2, et n supérieur à a moins 2 sur 3. Alors là il faut faire attention parce que n est un entier naturel, je ne veux pas dire que n0 ça vaut ce truc là, que n ça c'est pas forcément un entier. Donc là je l'appelle b, c'est ce réel, qui a priori n'est pas un entier, parce que a n'est pas forcément un entier. Je vais vous montrer sur un petit dessin que c'est pas très compliqué. En fait b est entouré par sa partie entière et sa partie entière plus 1. Donc moi je veux juste montrer l'existence d'un entier n0. Donc en fait pour ne pas prendre de risque, je vais dire que je vais prendre partie entière de b plus 1, ça c'est bien un entier. Et donc si n est supérieur à partie entière de b plus 1, il sera aussi supérieur à b, et donc c'est bon. Donc le plus petit entier n0 tel que n supérieur à n0, tel que si n supérieur à n0 implique un supérieur à a, en fait cet entier là, je vais l'écrire comme étant partie entière de a moins 2 sur 3 plus 1. N'oubliez pas ces histoires de partie entière, parce que si je prends juste a moins 2 sur 3, c'est pas juste en fait, parce que c'est pas forcément un entier. Donc voilà. Donc ça c'est bon, là on reconnaît la définition de la limite vers plus infini comme je vous le disais. Donc je vous ai fait un petit dessin pour qu'on comprenne un peu. La définition de u n étant vers plus infini c'est que quelle que soit la hauteur que je me fixe, il existe un entier, un rang en fait, à partir duquel tous les éléments de la suite seront au-dessus de cette barrière. Donc je vous ai fait un exemple, imaginons que je fixe une barrière que j'appelle a1, je vous ai fait un exemple de suite qui a l'air de tendre vers plus infini, là on voit qu'à partir de ce rang là, la suite est supérieure à a1 tout le temps. Si je fixe a ici, je l'ai appelé a2, à partir de ce rang là, la suite est au-dessus de a2. Et ainsi de suite. Si a3 est là, à partir du rang que j'ai appelé n03, la suite est au-dessus. Donc là on voit bien avec cette suite que même si je mets une barrière très haut, peut-être mon rang sera élevé, mais en tout cas je trouverai toujours un rang à partir duquel ça sera au-dessus. Donc ça c'est la définition, ce qu'on appelle la définition formelle de la limite. Donc voilà, pour cette méthode, avec les définitions formelles, elles ne sont pas évidentes, il faut un peu s'habituer à ça, mais une fois qu'on en a l'habitude de travailler avec, vous verrez que finalement ce n'est pas si compliqué. Si jamais vous avez des questions, comme d'habitude, n'hésitez pas d'aller voir la FAQ.

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