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Les Primitives

Ce cours explique les théorèmes importants sur les primitives. Le premier théorème stipule que toute fonction continue sur un intervalle a des primitives sur l'intervalle. Le deuxième théorème indique que pour tout réel de l'ensemble des définitions de base, s'il y a une valeur y0, il y a une primitive unique parmi toutes les primitives qui passe exactement par ce point. Le troisième théorème expose que l'ensemble de toutes les primitives équivaut à l'ensemble des F plus K. Ces théorèmes sont essentiels pour comprendre les primitives.

Quelques théorèmes très importants sur l'existence des primitives. Alors le premier, très basique, très simple mais qu'il faut connaître, il faut bien le dire et il faut bien l'écrire. Toute fonction continue sur un intervalle i admet des primitives sur un intervalle i. Exemple, je vous spoil un peu parce qu'on l'avait déjà vu dans la vidéo d'intro, ou dans la vidéo précédente. Voilà, exemple, par exemple, si je prends un truc très simple, alors là j'ai pris plusieurs types de primitives de x², la parabole, mais rappelez-vous par exemple, 3x plus 2 ça se dérive en 3, 3x plus 5 ça se dérive en 3, 3x moins pi ça se dérive en 3. C'est-à-dire que du point de vue de la fonction 3 constante, si je remonte et que je fais une antidérivée, une primitive, la fonction 3 elle a plein de primitives. 3x plus 2, 3x plus 5, 3x moins 7. Il y en a beaucoup. Particulièrement, j'en ai trouvé une, je peux en trouver une infinité. Je peux en trouver plein. Alors après, est-ce que c'est l'ensemble de toutes les primitives? Peut-être qu'il y en aurait d'autres encore, des bizarres, qu'à l'heure où j'ai pas pensé. Mais en tout cas, je peux déjà être sûr avec cet exemple un peu intuitif que je vous donne, qu'il y en a plus qu'une, ça c'est sûr. Est-ce qu'il y en a d'autres? On va regarder, c'est le théorème d'après. Le théorème d'après nous dit justement, point 1, si on a une fonction f continue sur un intervalle i. Bon, on vient de voir que dans ce cas on sait qu'il existe une grande f, une primitive. Alors maintenant on va pouvoir déduire, le théorème nous dit, l'ensemble de toutes les primitives de petite f, ça va être l'ensemble des grandes f, donc la première primitive qu'on a considérée, plus k. Ça veut dire que l'ensemble de toutes les primitives, c'est en fait juste des fonctions qui sont décalées d'une constante. Donc c'est bien ce que je disais avec 3x plus 2, 3x plus 5, 3x moins 7, etc. pour la fonction 3. Mais ça répond à la question de quand je vous disais, peut-être qu'il y en a d'autres encore. Là j'en ai trouvé une certaine infinité, elles sont toutes décalées, j'ai 3x plus 14, 3x moins 28, mais il pourrait y en avoir d'autres. Et bien non, ce théorème vous dit que non en fait. Il vous dit qu'il y a vraiment une équivalence parfaite entre être primitive, être de la forme grande f de x plus k. Deuxième théorème, on vous dit, pour tout réel de l'ensemble des définitions de base, si je fixe une valeur de y0 quelconque, j'aurai toujours une unique primitive parmi toutes les primitives qui passe exactement par ce point. C'est ça qu'il dit ce théorème. Je vous le montre ici, concentrez-vous sur ce petit dessin. On essaie de ne pas avoir une crise d'épilepsie, c'est vrai que ça bouge beaucoup, je suis désolé pour ça. Fixez le point ici à cette hauteur-là, 5. Fixez le point qui est sur l'axe OY d'abscisse 0, c'est plus facile sur le dessin, d'abscisse 0 et d'ordonnée 5. Combien de primitives passent par ce point? Une seule. En effet, on vient de dire, les primitives sont des fonctions qui sont décalées d'une constante. Donc en fait, il n'y en a qu'une seule qui passe et qui vaut F de 0 égale 5. Il n'y en a qu'une seule, peut-être grand G, qui vaudra G de 0 égale 4. Qu'une seule qui vaut H de 0 égale 8. Il n'y en a qu'une seule qui passe par un point donné à chaque fois. Si je veux le point 0, pour x0 égale 0 dans cet exemple, si je veux dire n'importe quelle valeur d'ordonnée pour cet abscisse, combien de primitives y passent? Une seule. Ça se voit ici. C'est la conséquence directe du théorème. Par contre, on doit démontrer le théorème 1, le point 1, dans le programme. On doit le démontrer, donc on va le faire. En fait, c'est un théorème qui vous dit, ensemble des primitives égale l'ensemble des F plus K. Égalité d'ensemble, ça veut dire qu'il y a équivalence. C'est-à-dire que si on a cet ensemble-là, si on a une fonction F plus K, c'est une primitive. Si on a une primitive, elle s'écrit F plus K. Pour démontrer ce genre de truc, ce qu'on doit faire, c'est faire ce qu'on appelle une démonstration par condition nécessaire et suffisante, ou bien par double implication. C'est le même nom pour cette chose-là. On va dire que deux choses sont égales. On veut bien dire qu'il y en a une qui appartient à l'autre ensemble. Une primitive égale appartient bien à l'ensemble F de X plus K. Et les F de X plus K sont des primitives. Vous voyez qu'il y a un cas qui va être très simple, un cas qui va être plus compliqué. Commençons par le cas le plus compliqué. Je me donne une primitive quelconque qui n'est pas F. On va l'appeler grand G. Mon but, c'est de montrer que quand je pars de l'ensemble des primitives, j'arrive bien à montrer que je suis bien dans l'ensemble grand F de X plus K. Montrons que cette G quelconque va s'écrire grand F de X plus K. On part de la définition, tout ce qu'on dit c'est grand F prime égal petit F, grand G prime égal petit F. Ce sont tous les deux des primitives, donc par définition, elles se dérivent en petit F. Et là, je peux jouer un peu avec. Je peux dire que, quel que soit, grand F prime de X égale grand G prime de X. Je mets tout d'un côté. Je me rends compte que grand G prime de X moins grand F prime de X égale 0 pour toute X. La dérivation, je sais que c'est linéaire. Donc si vous vous rappelez, la dérivée de U plus V, c'est U prime plus V prime. Donc quand j'écris grand G prime de X moins grand F prime de X, je peux dire que c'est en fait grand G moins grand F prime de X. C'est la fonction grand G moins grand F qui dérive et qui vaut 0. Attendez, une fonction qui se dérive et qui vaut 0? Je connais, c'est une constante. Je peux dire, quel que soit X, en fait, la fonction grand G de X moins grand F de X, elle vaut une constante K. Je remets le grand F de X de l'autre côté et j'ai montré qu'il y a quelque soit X. Grand G de X, qui est une primitive quelconque, qui pouvait donc avoir n'importe quelle forme, ne peut s'écrire uniquement que de la forme, en gros, grand G de X égale grand F de X plus K. Et donc j'ai bien démontré qu'il n'y a pas d'autres primitives bizarres. Ce n'est pas possible d'en avoir d'autres. Ce n'est pas possible d'avoir d'autres primitives qui s'écriraient peut-être, mais peut-être de 3X plus X, un X en plus? Ben non, c'est 3X plus 2 si vous voulez, par rapport à 3X. 3X moins 4. Elles sont décalées d'une constante et il n'y a pas d'autre choix. Donc maintenant, toutes les primitives s'écrivent de la forme grand F de X plus K. Sens inverse, c'est un sens que les élèves n'aiment pas trop ou oublient souvent parce qu'ils vont me dire, vous allez tous me dire, c'est débile ce truc, bien sûr que grand F de X plus K, c'est une primitive. C'est une question de logique. On veut montrer que les ensembles sont égaux, il faut bien montrer que les deux sont inclus l'un dans l'autre. Donc il faut faire la démonstration dans les deux sens. Ce n'est pas parce qu'il y a un sens qui est trivialissime, super trivial, super simple, qu'il ne faut pas le faire. Dans l'autre sens, montrons qu'une fonction qui s'écrit grand F de X plus une constante est aussi une primitive. Donc soit grand G qui s'écrit de cette forme là, grand G s'écrit grand F de X plus constante grand C, dérivons grand G pour voir s'il y a une primitive. Pour voir s'il y a une primitive, il faut qu'on vérifie si quand je la dérive, je tombe bien sur petite f. C'est ça la définition de la primitive. Je vais vérifier cette définition. Grand G prime égal grand F prime plus dérivé de grand C une constante, c'est égal à grand F prime et c'est égal à petite f. Donc évidemment, on retrouve que grand G est une primitive de f. Il faut savoir pourquoi on le fait et comment on le fait. Grand G, forme quelconque, grand F de X plus constante. On pose bien, on l'établit bien ce point. Et ensuite, on arrive à montrer que c'est une primitive. Donc il faut quand même être clair sur ce qu'on fait. Il faut que vous compreniez ce que vous faites étape par étape. Vous posez une fonction du type, OK, dans l'ensemble des grands F de X plus constante. Et je veux montrer qu'elle est dans l'ensemble des primitives, donc j'aimerais arriver à grand G prime égal petite f. Si vous avez ces étapes en tête, ensuite c'est très simple. Il faut être très clair sur l'établissement de chacune des étapes une par une. C'est ça qui fait les démonstrations de maths et qui fait qu'elles ne sont pas toujours très simples. C'est bien d'avoir le truc carré en tête. Voilà, si vous avez des questions, c'est pour plus tard parce que j'ai encore un slide à faire. Il reste un petit théorème de primitif qui est en fait un tableau inverse un peu du tableau de dérivés que vous avez vu sur les dérivés genre U plus V qui se dérivent ou lambda fois U qui se dérive, ça fait lambda fois U prime. Là c'est la même chose, quand vous avez U prime plus V prime, ça se primitive. J'ai mis A une constante près pour ne pas réécrire à chaque fois le plus K. Ça m'embête trop. Donc la primitive de U prime plus V prime, c'est U plus V. La primitive de lambda U prime, c'est lambda U. Ensuite, vous en avez plein qui sont reconnaissables en gros. U prime fois U puissance N, ça ressemble quand même dans le tableau de dérivés à quand on me demande de dériver U puissance N et que ça fait N U prime U N moins 1, si vous en souvenez. En fait, ce n'est pas loin de ce truc-là. Il faut juste qu'on monte la puissance. Quand on primitive, on a remarqué qu'on montait la puissance. Donc oui, c'est la primitive de U puissance N plus 1 ici, mais il faut diviser par N plus 1. Ne pas se tromper ensuite, ça ne marche pas pour N égale moins 1. On a U prime sur U carré, ça ressemble à du 1 sur U, mais il manque un signe moins, donc c'est moins 1 sur U quand on primitive, etc. jusqu'à la formule générale de la composition qui est ici. Voilà. Ça, il faut connaître ce tableau par cœur comme l'autre tableau. C'est partie des choses un peu reloues, mais il faut les connaître. Et j'en ai fini avec cette partie-là sur les théorèmes. N'hésitez pas à poser des questions dans l'FAQ, à dire si vous avez des doutes ou à voir si quelqu'un n'a pas déjà répondu à votre interrogation. Et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Existence et Calcul des Primitives

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