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Équations Différentielles

Dans ce cours, on apprend les équations différentielles homogènes, qui sont des équations de la forme y'à y avec un réel non nul. Les solutions de ces équations prennent la forme k fois exponentielle à x, où k peut être n'importe quel réel non nul. Cependant, si on fixe un point de départ y0 à la fonction, il n'y a qu'une seule fonction exponentielle à x qui vérifie f de x0 égal y0.La démonstration pour trouver les solutions exponentielles à x commence en posant une g de x égale exponentielle moins a à x fois f de x. Ensuite, on montre que g est une constante en dérivant et en montrant que g' est égal à 0. Enfin, on dégage la constante c dans f' de x égale c fois exponentielle ax pour trouver la solution complète.Il est à noter que la méthode de la démonstration est utilisée pour mieux comprendre comment les résultats sont obtenus et sa nécessité doit être respectée, même si elle paraît complexe. De plus, cela peut aider les étudiants à résoudre les problèmes.

Premier type d'équation qu'il faut absolument connaître par coeur, les équations différentielles appelées homogènes. Ce sont les équations de la forme y'à y avec un réel non nul. S'il est nul, ça ne fait juste pas très intéressant. Les solutions de cette équation s'écrivent toujours de la forme k fois exponentielle à x. K ça peut être 2, 3, donc par exemple 2 exponentielle à x est solution, 5 exponentielle à x est solution. Il y a donc une infinité de solutions pour l'équation y'à y, de la même manière qu'il y avait une infinité de primitives pour toutes les fonctions f. Par contre, dès qu'on commence à fixer de la même manière que les primitives 1.x0 de l'intervalle de définition et une valeur y0 quelconque, là on a plus qu'une seule fonction f solution qui vérifie f de x0 égal y0. Rappelez-vous, ce qu'on a fait sur les primitives, c'est exactement la même chose. Ce qui est intéressant, c'est que oui c'est une exponentielle, parce que ça ressemble un peu à la définition de l'exponentielle y'y c'est l'exponentielle. En gros, donc là y'y on s'attendait à un truc peut-être similaire. Donc c'est assez intéressant. Ce qui m'intéresse beaucoup plus ici, j'ai juste tracé quelques fonctions solutions ici, quelques cas exponentiels à x, donc avec des cas positifs en haut, des cas négatifs en bas. Ce qui m'intéresse plus c'est la démonstration. C'est un cas d'école de démonstration, où en fait des fois les profs de maths vont vous balancer un truc, on ne sait pas trop d'où ça sort, et ça fonctionne comme par hasard. J'ai envie un peu de casser tout ça, de vous montrer derrière le rideau pourquoi est-ce qu'on a une démonstration qui marche comme elle marche, et d'où vient cette intuition. Donc ce qu'on va faire ici principalement c'est la démonstration. Commençons en faisant un peu semblant de ne pas se douter de rien. On va faire un peu, vu qu'on veut montrer une égalité d'ensemble, donc on va dire l'ensemble des fonctions solutions, c'est l'ensemble des fonctions exponentielles à x. Ce qu'on a fait c'est très différent, on peut vérifier rapidement que les exponentielles à x sont solutions, mais pour autant le théorème dit plus que ça. Ce qu'il nous dit c'est, toutes les solutions s'écrivent comme ça, il n'y en a pas d'autres. Genre c'est mort, ce sont les seules. Donc on va partir en conditions nécessaires et suffisantes, ou double inclusion comme on a vu dans le chapitre sur les primitives. Donc soit f une solution, on sait qu'elle vérifie, si c'est une solution de y'égal à y, elle vérifie f'égal à f. Maintenant, soit j'ai la fonction définie sur R par g de x égale exponentielle moins à x fois f. Mais non! Et là je dis stop direct! Ça c'est l'étape normale de la démonstration, et après ça y'a trois lignes qui font que la démonstration est finie. Mais rappelez-vous, on est en train d'essayer de chercher les solutions, on veut montrer que c'est exponentielle à x. Donc en fait on veut pas balancer comme ça le résultat dès le début, c'est pas possible de faire ça. En fait c'est possible, mais c'est choquant. Scandale, remboursé. Je vais vous montrer un peu l'intuition en faisant un truc qui va peut-être vous faire plaisir, mais qui est très très interdit en mathématiques. C'est-à-dire qu'en fait on va aller chercher l'intuition de la réponse en faisant ce que j'appelle un peu, alors c'est pas insultant pour eux, le mode physicien. Le mode physicien c'est ce mode dont vous rêvez en maths, c'est le mode où on s'en fout un peu de tous les détails, on s'en fout de vérifier tous ces petits trucs chiants, des maths, les détails, est-ce qu'on divise par zéro, est-ce qu'il y a des trucs, des signes, oh pfff, je veux juste faire des maths et avancer, j'ai pas envie de m'embêter. Je vais faire ça, ce qui est interdit interdit, il faut de la rigueur, on doit vérifier tous ces petits trucs dont je parle, mais je vais le faire un petit peu juste pour trouver une piste, c'est ce qu'on fait souvent en prépa notamment, on a envie de trouver des pistes dans des exos qui sont un peu imbitables, des fois on sait pas où aller, et donc on se dit allez hop, on s'en fiche de la rigueur, pendant deux minutes je cherche une solution, quand je trouve un chemin, je reviens sur la rigueur, et maintenant ce chemin je l'emprunte de manière plus raisonnée, plus, vous savez, plus étape par étape quoi. Donc, qu'est-ce qu'on fait? Petit détour par le mode physicien, on y va brin sur le brouillon, on dit y'a la y, c'est très bien, mais ça m'aide pas. Si je fais y' sur y, là ça va m'aider, parce que y' sur y, je reconnais tout de suite ma primitive de log de y. En effet j'ai ma fonction u' sur u dans mon tableau, u' sur u c'est lié à log de u. Premier problème, y' sur y, je divise potentiellement par une valeur de y de x, y de x je dis ça parce que y c'est une fonction, n'oubliez pas, y de x potentiellement ça vaut 0, je vais pas montrer que ça valait pas 0, donc j'ai pas le droit de diviser. On s'en fout, mode physicien! Donc je primitive maintenant cette équation de chaque côté, je sais qu'à gauche ça va faire y' sur y, je vais faire log de y, à droite a c'est une constante, ça fait une fonction affine a x plus k. Simple, primitive de a à x plus k, primitive de y' sur y, log de y. Mais dans le tableau u' sur u, ça va être primitif, c'est log de u valeur absolue. On s'en fiche, mode physicien! Ils n'ont pas de valeur absolue, on est très contents. Par contre moi je veux pas log de y, je veux y, donc je passe à l'exponential de chaque côté de l'équation qui est ici, et ça me donne donc exponentielle de log de y. y est égal à exponentielle de a à x plus k. Je peux séparer le k, c'est une exponentielle, donc c'est une fonction de puissance en soi, ça donne une autre constante, k prime, fois exponentielle a à x. Parfait! J'y suis, talin, c'est fini! Bon, bien sûr c'est ce que j'ai dit, on a des contraintes en maths, on peut pas diviser par 0, on peut pas faire ce qu'on veut, etc. On a plein de problèmes ici de signes, etc. Voyons ensuite comment s'inspirer de ça. On a vu dans ce chemin un peu flou de mode physique que oui, on trouve un truc du genre exponentielle a à x. C'est pour ça qu'on pose une g de x égale exponentielle moins a à x fois f de x, sachant que f de x sera sûrement exponentielle à x. La multiplication de f par exponentielle moins a à x devrait être constante. Donc on sait dans notre tête, dans le fond, après le mode physicien, on sait qu'on a f de x peut remplacer par k fois e de a à x. Et donc ça veut dire que g de x serait constante. Et poser une g de x comme ça est astucieux, parce qu'en fait il ne me restera plus qu'à démontrer, là je fais genre je sais pas, que le f c'est ça, mais j'aurais plus qu'à démontrer que g est constante. Et pour montrer que g est constante c'est pas très compliqué, elle est dérivable. Je montre que sa dérivée est nulle. Et montrer qu'une dérivée est nulle c'est plutôt simple. Donc on s'inspire de ce chemin qu'on a trouvé en faisant un espèce de passage par le log pour ensuite poser cette fonction. Mais si je vous donne pas le chemin, et je vous balance juste ce truc là, poum on pose g égale, moi ça me rappelle les souvenirs où j'étais choqué de mes, encore monsieur ou mesdames, enfin vous êtes gentils, mais d'où ça sort cette démonstration là, vous me sortez un peu de nulle part, bon ok ça marche j'accepte, mais bon c'est un peu trop simple. Donc on a donc fait le chemin au brouillon, on va essayer de repasser à la démonstration. Maintenant que je pose ça j'ai plus qu'à montrer que la dérivée est nulle, et ça ça va être très simple et assez direct, g' j'adhérive, je peux factoriser par exponentielle moins x, la dérivée de g' c'est donc un produit, c'est u'v plus v'u, vous appliquez, on trouve, prenez votre stylo si vous n'êtes pas sûr, faites-le, on trouve g' égale ça, or rappelons-nous le seul truc qu'on sait sur f c'est qu'elle vérifie y' égale ay, donc en fait f' égale af, donc f' moins af égale 0, oh! Mais quelle surprise! Donc on a bien g' égale 0, et donc g' égale constante, donc nous on le sait vu qu'on a fait le petit chemin par le mode physicien, et on n'est pas surpris, on comprend pourquoi la démonstration passe par là, c'est une technique pas bête, de se dire on va plutôt dériver et montrer que c'est nul, c'est pas très compliqué, mais c'est vrai que ça va assez vite. Mais si on vous le balance, bon en effet ça va trop vite quoi. Donc on trouve ça, et on trouve f' de x égale c fois quelque chose, le cas est devenu un c, c'est une erreur de slide, je corrigerai ça, mais vous avez compris l'idée, on retrouve c fois exponentiel ax. Et donc ensuite il reste la condition suffisante, rappelez-vous, là pour l'instant on a montré que, c'est très intéressant, on a montré que les seules solutions possibles de cette équation s'écrivent de la forme constante fois exponentielle ax. Donc ça, ça résout le problème de est-ce qu'il n'y a pas d'autre? Ben oui, il n'y a pas d'autre, on a pris une quelconque, on voit qu'elle ressemble à ça nécessairement, c'est pour ça qu'on parle de condition nécessaire. Condition suffisante, maintenant on vérifie que celle qu'on a trouvée est bien la solution, on le sait d'avance, on l'a fait tout à l'heure, on vérifie, on dérive, on voit que ça marche. C'est tout pour cette vidéo, j'espère que ça vous a aidé, que ça vous a inspiré, que ça vous a fait marrer de voir un peu derrière le rideau comment on conçoit les démonstrations, c'est un peu comme ça qu'on conçoit des exercices aussi des fois, quand on est côté prof, poser des questions dans la FAQ si y'a besoin, et je vous retrouve pour la prochaine vidéo!

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