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Équations Inéquations
Dans ce cours, nous abordons une nouvelle inéquation avec le logarithme, similaire à celle que nous avons vue précédemment. L'équation proposée pour la résolution est 3-ln(2x+1)/2 > 1. Pour résoudre cette équation, nous voulons isoler le terme en ln afin de pouvoir composer par l'exponentielle et l'isoler.
Comme d'habitude, il est important de vérifier l'ensemble de définition de l'inéquation avant de continuer. Dans ce cas, nous devons nous assurer que 2x+1 est strictement supérieur à 0. Cela signifie que nous devons résoudre l'inéquation sur l'intervalle -1/2 à l'infini.
Pour isoler le terme en ln, nous déplaçons le facteur 3 de l'autre côté de l'inéquation, ce qui le transforme en -2. Ensuite, nous multiplions par -1 pour inverser le sens de l'inégalité. Maintenant, nous avons isolé parfaitement le ln.
À ce stade, nous composons par l'exponentielle pour obtenir 2x+1 < e^4. Cette résolution est assez simple, nous isolons x pour obtenir x = e^4 - 1/2.
Il est important de rappeler que l'intervalle sur lequel nous résolvons l'inéquation est -1/2 à l'infini. Nous devons vérifier si e^4 - 1/2 est compris dans cet intervalle. Comme cela est le cas, l'intervalle solution est l'intersection de ces deux intervalles, ce qui donne -1/2 à e^4 - 1/2.
Il est crucial de ne pas oublier de vérifier l'ensemble de définition au début et de prendre l'intersection de la solution finale avec l'intervalle initial de résolution. Cette méthode nous permet d'isoler le terme en logarithme, de prendre l'exponentielle par la suite et de prendre en compte les intervalles de définition.
