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Théorèmes de Convergence

En bref, ce cours porte sur l'étude de fonction complète d'un examen de mathématiques de 2009. Il faut d'abord trouver la limite de la fonction à l'infini, ce qui nécessite l'utilisation de la croissance comparée pour comparer l'exponential et les puissances de x. Ensuite, il faut montrer que la fonction admet un maximum, ce qui nécessite de calculer la dérivée et d'analyser ses changements de signe. Enfin, on peut déterminer la valeur de la fonction au maximum, qui est égale à racine de 2 sur 2 fois exponentielle de moins 1 sur 2.

Cet exercice là c'est un bac 2009, donc c'est assez vieux, c'est peut-être pas exactement le niveau que vous, vous aurez parce que le niveau a un peu baissé depuis 12-13 ans mais il est pas mal parce qu'en gros dedans il y a une étude de fonction complète, quasiment. Donc il faut étudier la fonction, trouver la limite en plus infini, donc ça c'est le début et ensuite montrer qu'elle admet un maximum, ça ça peut être une étude de fonction donc c'est l'occasion de revoir un petit peu les études de fonction, donc cherchons. La limite en plus infini, on a. Alors là c'est pas simple parce qu'en plus infini ça ça tend vers plus infini, enfin le x tend vers plus infini, en plus infini ça ça tend vers e de moins infini en gros, ça tend vers 0, donc j'ai une forme indéterminée. Donc j'ai du plus infini, du 0, ça marche pas. Ce qu'il faut faire ici c'est utiliser ce qu'on appelle la croissance comparée. La croissance comparée, on le rappelle, c'est l'idée de pouvoir comparer la convergence de l'exponential par rapport à la convergence des x puissance n, avec n antinaturel. Quand x tend vers plus infini, ce rapport là tend vers plus infini, c'est à dire que l'exponential domine tout le temps. Elle finit toujours par dominer une puissance de x, donc x puissance 2000 finira par se faire dépasser par l'exponential, c'est un peu l'idée. Donc si on connaît ça ici, on peut se dire que là il y a quelque chose à faire. Donc je vais le faire, f de x est égal, donc il y a un petit travail de réécriture, et en général quand vous avez une forme à déterminer avec l'exponential, c'est souvent ça qu'il faudra faire. Donc soit il y a une somme, il faudra plutôt factoriser par un terme, si vous avez une multiplication, il faudra penser à ce qu'on appelle la croissance comparée, c'est à dire cette chose là. J'aimerais bien avoir non pas x et x², mais la même chose dans l'exponential et en dessous, comme dans ma formule de cours. Donc en haut je vais écrire x² sur e de x², ce qui me force à faire x sur x. Comme moi je sais que je vais écrire x² sur e de x², c'est en fait l'inverse de e de x² sur x², c'est à dire que c'est l'inverse de e de x sur x. Ça on sait que c'est un inverse plus infini. Ça c'est un inverse plus infini. Donc je pose x². Je sais que c'est un inverse plus infini, tout bêtement. Donc en gros j'ai fait exprès de faire apparaître un x² en dessous pour avoir le même terme en haut et en bas pour pouvoir appliquer cette formule. J'ai e de x sur x, ça est un inverse plus infini, le tout est un inverse 0. L'inverse de 1 sur x est un inverse 0, plus en l'occurrence. Quand x est un inverse plus infini. Donc ce machin est un inverse 0. Or ce machin là tend aussi vers 0 quand x est un inverse plus infini. Le tout tend vers 0. Question 2. Montrez que f admet un maximum en rassemblé 2 sur 2, etc. Là, il n'y a pas de mystère. Tout ce qu'il faut faire c'est calculer, dire f est dérivable sur R+. Là, il ne faut pas se tomber. C'est une fonction u x v, donc c'est une fonction où il y a un produit de deux fonctions. Comme j'ai un produit de deux fonctions, qu'est ce que je fais? J'applique la formule u'v plus v'u. Ça nous donne u' c'est 1 x v e de x² plus v' x u, donc u c'est x. v' c'est la dérivée de ce truc là, donc c'est e d'une fonction. C'est donc la dérivée de la fonction dans l'exponential. Petit rappel, on a e2u' égale u' e2u. Ça, je peux vous dire f' de x est positif ou nul si et seulement si. Comme ça, c'est positif. C'est les différentes étapes d'études de fonctions. On calcule la dérivée et on regarde quand est-ce qu'elle change de signe. Donc je vois quand est-ce qu'elle est positive ou nulle. Et je regarde si et seulement si. 1-2x2, positif ou nul. Si et seulement si, on est sur R+. Comme on est sur R+, il ne faut pas se prendre la tête avec les solutions qui peuvent être négatives etc. C'est si et seulement si 2x2 est plus petit que 1. Si et seulement si, x² est plus petit qu'1,5. Donc f' de x, positif ou nul. Si et seulement si, x² est plus petit qu'1,5. Ça fait pour x positif, si et seulement si, x est plus petit ou égal que √2, 1,5. Et √2, 1,5 c'est √2 sur 2. Si vous ne savez pas le faire, c'est en fait 1 sur √2, on fait x√2 en haut et en bas, on trouve √2 sur 2. Ça me permet de faire un tableau. Tout de suite j'ai le tableau de variation de la fonction. Je suis entre 0 et plus infini. J'ai √2 sur 2 qui va être la valeur du changement de signe de la dérivée que je viens de trouver. J'ai f', elle vaut 0 à cet endroit là. Elle est positive, f', quand x est plus petit que √2. C'est donc ici. Elle est donc négative de l'autre côté, par complémentarité. Ça me donne pour f des variations, plus, moins, elle monte, puis elle descend. J'ai trouvé la limite en plus infini, c'était la question d'avant. Je peux la mettre dans mon tableau. Je suis content, parce que si j'avais trouvé une fonction qui avait une limite plus infinie en plus infini, je serais un peu dans la panale. J'aurais quelque chose qui descend vers plus infini. Ça serait un bon signal pour dire qu'il y a quelque chose de faux. Il faut toujours se méfier et essayer de se rappeler ce qu'on a fait avant. Ça peut aider à détecter des erreurs bêtes. Donc là j'ai 0. f en 0, elle valait combien? Je vais remplir le tableau quand même. f de 0, ça fait 0. J'ai un petit 0 ici. J'ai en effet un max à cet endroit là. Là j'ai f de racine de 2 sur 2. J'ai bien un maximum. Dernière question, on demande la valeur. Deux valeurs. f de racine de 2 sur 2, égale racine de 2 sur 2 fois exponentielle de moins... Racine de 2 sur 2 au carré c'est 1 demi. Voilà. Ça devrait faire un exo.

Difficile : BAC 2009

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