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Théorèmes de Convergence

Dans cet exercice, on nous donne une fonction F2X et on nous demande de déterminer sa limite en plus l'infini, sa courbe CF comme asymptote horizontale et ses variations de f'E2X. Tout d'abord, on applique notre maîtrise des puissances pour simplifier la fonction F2X. Ensuite, on remplace petit x par moins grand x sur E de grand x, et on utilise des formules simples pour trouver la limite de la fonction. On en déduit que la courbe CF a une asymptote horizontale. Pour la variation de f'E2X, on calcule la formule du produit et on en déduit un petit tableau de variations. Finalement, on retrouve les limites que nous avions trouvées précédemment. La limite de f'F en plus l'infini est un plus 1, donc elle admet une asymptote horizontale y égale 1.

Cet exercice est vraiment un classique, très simple, il faut savoir maîtriser ça. Je vous l'ai mis juste principalement pour le rappel de cette limite ici. Donc je mets ça dans ce rappel là, je vais le redémontrer en une seconde. Je sais que des fois ça, ça peut perturber les gens, ça peut perturber les élèves qui ont appris bien gentiment la formule E2X sur Xplicence N et qui ont oublié celle-ci, donc je me suis dit ça vaut le coup de la rappeler avec un petit exo. Le reste de l'exercice est assez... va cool de source. Je vais vous le faire assez vite comme ça. Donc on vous dit F2X égale... Déjà le premier truc que je veux faire c'est appliquer ma grande maîtrise des puissances pour tout de suite me débarrasser de ce moins un dans la puissance. Donc ça fait X E2X divisé par E. Parce que E puissance moins un c'est E et c'est juste une constante. Si je fais ça maintenant je peux juste me focaliser sur X E2X. Je peux remplacer petit x par moins grand x sur E de grand x. Pourquoi je fais ça? Parce que si petit x tend vers moins l'infini, mon grand x tend vers plus l'infini. Et là je connais des formules simples. Donc je peux écrire que ça c'est moins grand x sur E2X. Zéro parce que c'est l'inverse de l'infini. Moins parce que j'ai un signe moins qui est là. Et donc je peux conclure. C'est comme ça qu'on le fait. Je pense que si vous avez besoin de le redémontrer c'est un peu sale idée. On se rapporte à la formule connue qui est E2X sur X tend vers plus l'infini. Mais sinon il faut juste apprendre ça. Je pense que ça passe. Que peut-on en déduire pour la courbe CF? Comme asymptote. Donc c'est comme ça qu'on fait. Comme asymptote horizontale. Donc ça c'est assez simple. Déterminer la limite de f en plus l'infini. En plus l'infini, honnêtement il n'y a pas trop de problème. On a vu que la fonction c'était xE2X. C'est un produit de fonction qui tend vers plus l'infini. Là il n'y a vraiment pas de problème. Petit 3 on admet que f est dérivable sur R. Ça se démonte facilement. On l'admet mais on pourrait juste dire que c'est un produit de fonction dérivable. C'est donc dérivable, aucun problème. On vous donne f'E2X et on vous dit étudiez les variations. C'est cadeau. Montrez que f'E2X on ne vous le donne pas, il faut le montrer. Donc calculons. Ça, ça va dégager. C'est une constante. Cette constante ne va pas nous déranger. Je vais juste faire la formule du produit. Ça va être facile. C'est u'V plus V'U. J'ai 1 sur E fois u'V. C'est 1 fois E2X plus V'U. Donc x fois E2X. Egal x plus 1 fois E2X. Je vais remettre le moins 1 ici. Pour réintégrer ce E ici. C'est ce qu'on me demande normalement je pense. Oui, x plus 1, E2X moins 1. Tout ce qu'on a à faire maintenant c'est un petit tableau de variations. Ça rend moins 1 que f'E2X de cette vie. On peut écrire f'E2X positif ou nul si et seulement si x plus ou moins ou égal à moins 1. Important quand même. Je mets moins 1 ici. Je dis que ça s'annule. Moins, plus, f'F, ça descend, ça remonte. Et voilà. Tout ce qu'on a à dire ensuite c'est remettre les limites qu'on avait trouvées. Donc 0 moins ici. Et plus l'infini ici si je ne me trompe pas. Donc ce n'est pas 0 moins, je me suis trompé. Donc ça c'est vrai. Et donc limite de f'F, il y a un plus 1 dedans. Quand x tend vers moins l'infini. C'est la limite de ce machin là en effet. Mais plus 1. Et donc ça va être égal à 1 moins. Donc elle admet y égale 1 comme asymptote horizontal. J'ai une petite erreur de mon part. Ici c'est donc 1 moins. Et voilà.

Exp : indéterminée en -∞

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