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Dérivation : variations de fonctions

En étudiant une fonction, il y a plusieurs étapes à suivre pour s'en sortir. Tout d'abord, il faut toujours vérifier l'ensemble de définition et faire attention aux racines et aux fractions. Ensuite, il est important de vérifier si la fonction est paire ou impaire, ce qui permet de simplifier l'étude. Si cela n'est pas possible, il est conseillé de vérifier si la fonction est trivialement croissante ou décroissante, car cela peut permettre de gagner du temps. Si cela ne fonctionne pas, il faut déterminer l'ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée de la fonction. Il est ensuite important de déterminer le signe de la dérivée en fonction de x et de faire un tableau de variation en conséquence. Enfin, il est possible que des questions supplémentaires sur la convexité, les limites ou le tracé soient posées. En suivant cette méthode, il est possible de bien mener une étude de fonction et de ne pas se tromper.

Une vidéo générique de méthode que je pensais importante, juste pour faire un petit récap de comment s'en sortir quand on est tout seul face à un exo du type, étudier la fonction, et qu'il n'y a pas vraiment beaucoup d'étapes explicatives. Donc, en général, vous aurez souvent des questions A, B, C, d, e, qui vont vous guider. Mais c'est toujours les mêmes, donc je me suis dit, autant les apprendre et savoir bien ce qu'on attend de vous. Donc, première étape, l'ensemble de définition. Toujours. Donc là, vous checkez l'ensemble de définition, les difficultés en général sur ce genre de questions, ça sera toujours quand vous avez une racine, une racine ça doit être, ce qu'il y a sous la racine doit être positif, ou une fraction. Avec un 1 sur u par exemple, il faut que u de x soit différent de 0. Deuxième étape. Souvent les élèves, en fait, j'ai l'impression, sautent sur la dérivation, alors qu'on a quelques étapes à faire avant. Donc, deuxième étape, vérifier que la fonction est paire ou impaire. Si elle est paire ou impaire, très bien, on peut faire l'étude uniquement sur l'ensemble des valeurs positives de l'ensemble de définition. Donc si la fonction est définie sur, je ne sais pas, moins l'infini, moins 3, et 3 plus l'infini, alors on peut étudier uniquement sur 3 plus l'infini, et compléter ensuite par symétrie. La symétrie sera une symétrie par rapport au point O si la fonction est impaire, par rapport à l'axe OY si la fonction est paire. Troisième étape. Une étape que j'ai remarqué qui peut être vachement bien, qui peut vous faire gagner vachement de temps, mais que vous oubliez dès que vous avez appris à faire la dérivation. Parce qu'en fait, en seconde, si vous vous rappelez, au début du lycée en tout cas, vous avez étudié ce que c'est la croissance d'une fonction. Et on vous disait, avec quelques règles, du genre, la somme de deux fonctions croissantes est croissante. Étudiez f de A moins f de B avec A plus grand que B, et voyons si les images pour deux points quelconques se rangent dans un ordre ou dans l'autre. Enfin, cette définition fondamentale de la croissance, on l'oublie en général, parce que la dérivée c'est plus facile, c'est plus automatique. Mais des fois, ça peut être quand même vachement bien de remarquer ce que j'appelle trivialement une croissante, si une fonction f n'est pas trivialement croissante ou trivialement décroissante. C'est-à-dire, vous pourrez remarquer que vous avez une fonction qui est composée d'une somme de deux fonctions croissantes. Par exemple, f de x, il y a x plus 2x3, vous pourrez dire croissante sur r, parce que x est croissante sur r, x3 est croissante sur r. C'est bon, la fonction est croissante, pas besoin de calculer la dérivée. Vous avez peut-être besoin de calculer la dérivée si on vous demande de trouver l'équation d'une tangente par exemple, mais il n'y aura aucun besoin de le faire si on vous dit juste d'étudier les variations de la fonction. Les variations sont évidentes quand on a deux fonctions croissantes. Quatrième étape, si ça c'est non, si ce n'est pas possible d'avoir une réponse triviale, parce que potentiellement vous avez une somme, une fonction croissante, décroissante, etc. Dans ce cas, est-ce que la fonction est dérivable? Donc ensemble de dérivabilité. En général, l'ensemble de dérivabilité est toujours df, c'est toujours le même, sauf dans certains cas où il y a un point spécifique où la fonction est définie mais où elle n'est pas dérivable. Ce sont les cas où on a une valeur absolue, donc là ça sera non dérivable au point où ce qu'il y a dans la valeur absolue vaut 0, ou si on a une racine, pareil, ça sera non dérivable au point où ce qu'il y a dans la racine vaut 0. Étape 5, calcul de f'x. Étape 6, le signe de f'x. Alors moi comment je conseille de le faire, c'est toujours d'écrire f'x, positif ou nul, si et seulement si. Là il manque juste un petit 0. Hop, f'x, positif ou nul, si et seulement si. Puis vous allez au bout de vos conditions, si vous trouvez que c'est jamais, c'est pas grave, ça veut dire qu'elle est toujours négative. Vous faites ensuite le tableau de signe, donc vous remplissez, vous mettez un plus à chaque sous-intervalle où f'x est nul, et tous les autres vous mettez un moins. Et enfin vous faites un tableau de relation. Le tableau de relation qui est comme ça, x, f'x, donc f'x c'est bien le nombre f'x, vous mettez les moins, plus, moins, et f. Je mets f ici, pas f'x, c'est pas une grave erreur, mais je mets f parce que c'est la fonction f qui varie, pas le nombre f'x. f'x c'est un nombre, c'est genre le nombre, c'est l'ordonnée du point d'abscisse x. Donc on écrit toujours, je pense que les profs vous ont dit ça, on met f'x, f, pour cette raison. Tableau de variation, vous avez fini. Ensuite, alors là j'ai un peu été plus loin au cas où, vous avez souvent des questions en plus. Alors il y en a certaines qui sont du programme fin de lycée, terminale, sur la convexité, sur les limites. On peut vous demander des trucs sur les limites en première, c'est pas impossible quand elles sont vraiment très simples, genre x² ça tend vers plus l'infini, en plus l'infini, bon. Et un tracé potentiel, voilà. Voici la structure qu'il faut respecter, je vous conseille d'apprendre par cœur ce plan, à chaque fois que vous avez une étude un peu ouverte, vous vous dites ok stop, qu'est-ce que je fais? Petit 1, définition, basique. Ensuite je check les trucs qu'il a dit là, qui sont pas exactement f' tout de suite, parité, croissance triviale. Ça, ça peut vous sauver beaucoup beaucoup de temps, donc c'est cool. Ensuite, voilà, c'est la méthode classique, je vous conseille d'avoir ces étapes en tête pour bien être au taquet, et puis pas vous planter quoi. Sur ce, je vous laisse, j'espère que ça vous a un peu aidé et aidé à vous cadrer surtout, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye!

Méthode COMPLETE pour étudier une fonction

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