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Dérivation : variations de fonctions

Ce cours explique comment étudier une fonction typique en calcul différentiel. La fonction h est définie partout sur 5 par h2x égale 7-10 sur 5-x, et il faut justifier qu'elle est dérivable sur cet ensemble et déterminer sa fonction dérivée h'. Pour toute x différent de 5, h' de x est négatif strict, car il est égal à -10 divisé par un carré positif. Enfin, on peut dresser un tableau de variations de la fonction h en excluant la valeur interdite 5 et en notant que h' est toujours négatif et décroissant.

Un exercice avec une étude typique de fonction qu'on peut vous demander en premier. Alors soit h a fonction définie partout sur 5 par h2x égale 7-10 sur 5-x. Pourquoi partout sur 5? Parce qu'on ne peut pas diviser par 0. C'est classique. Vous pourrez le dire vous-même, ils sont sympas et vous le donnent, mais ce serait un truc à faire vous-même spontanément si ce n'était pas donné. Justifier que h est dérivable sur cet ensemble, déterminer sa fonction dérivée h'. h, je l'ai écrit ici, c'est l'inverse d'un polynome de degré 1, on pourrait dire que c'est une fonction hyperbolique en fait. Donc c'est dérivable sur r-5. Parce que classiquement on sait qu'un polynome de degré 1 est dérivable, prendre l'inverse est toujours dérivable. C'est dérivable sur r-5, donc non dérivable en 5, tout simplement parce que c'est non défini en 5. Donc il n'y a pas de raison que ce soit dérivable en 5 si ce n'est même pas défini. Quel que soit x appartient à r-5, donc ça peut être écrit pour toute x si vous voulez, je vais faire un petit rappel de formule. Comment dériver 1 sur une fonction? 1 sur u2x' c'est –u' sur u². Ici, on a u2x égale 5-x, et donc on se retrouve avec u' de x égale –1. Il y a pas mal de moins, ce que je vais commencer à faire c'est sortir le –10 devant. Il me reste 1 sur 5-x à dériver. J'ai –u', et bien –u' ça va faire – attendez j'ai 1 sur 5-x, j'ai le –10 devant, –u', u' étant –1, je suis obligé de faire – –1 sur 5-x². J'avais fait une petite erreur là. Donc c'est bien –u'-1 sur 5-x² égale –---10 sur 5-x². C'est 3 moins, je les ai tous mis là. Ça fait donc au final, moins moins moins, ça fait moins. On vous dit ensuite, étudiez, pour tous réels x différents 5, le signe de h' de x. Quel que soit x différente 5, h' de x, clairement, négatif strict. Pourquoi? Parce qu'on a –10 divisé par un truc qui est positif, ça c'est un carré, ça c'est différent de 0, et c'est négatif. Donc ça je disais différent de 0, c'est négatif, donc le tout est négatif strict. Il n'y a pas à justifier 3 heures. C'est plus compliqué des fois, mais dans cette question là c'est assez simple. Petite rendez-vous sur les variations de la fonction h sur r-5, ça c'est très classique. Il faut faire un tableau de variations. A terme, je vous montre comment le faire bien. Là ce qui est intéressant, vous allez voir, c'est même si f' est toujours négatif, on va quand même le mettre, on va écrire f' de x, son signe. Le signe de la valeur du réel f' de x, si vous voulez. Là les valeurs de x, entre moins infini et plus infini. Et surtout je me rappelle que 5 est interdit. Et là ici les variations de f. Ce que je fais, c'est que vu que 5 est interdit, je trace une double barre. Ça c'est le code mathématique pour dire valeur interdite. Oups, ma main a glissé. Je trace une double barre pour dire valeur interdite. Elle est interdite autant pour f' que pour f'. En effet f' n'a toujours pas le droit de mettre 5 à la place de x, sinon ça ferait 0. On dit que c'était toujours négatif, mais en fait voilà, c'est négatif et ça décroît. L'erreur ici serait de dire, j'oublie complètement ça et je dis que ça descend comme ça. Non, il y a en fait ce qu'on va appeler plus tard une asymptote verticale. C'est à dire une droite à laquelle on va venir se coller. La fonction va venir se coller comme pour une hyperbole. Donc voilà, ce sont les variations de la fonction. L'idée après quand on avance dans les chapitres et dans les années, c'est de calculer ce qui se passe en moins infini, plus infini, etc. Mais ça c'est assez classique, vous calculez. Là c'est toujours la même chose, vous voyez c'est défini dérivable. Puis deuxième étape, on calcule la dérivée. Troisième étape, on étudie son signe. Quatrième étape, on fait le bilan et on complète avec les variations de f dans un tableau. Voilà, j'espère que c'était clair. Posez-moi des questions s'il y a besoin et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

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