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Dérivation : variations de fonctions

Dans ce cours, on étudie une fonction polynôme du troisième degré qui est dérivable sur R. On calcule la dérivée de cette fonction et on étudie son signe en utilisant les automatismes qui doivent être maîtrisés. Ensuite, on calcule les racines du polynôme et on détermine les variations de la fonction. Le cours insiste sur l'importance de connaître les polynômes du second degré car ce type d'exercice est très fréquent en mathématiques.

Un autre type vraiment classique d'études de fonctions, ce sont les fonctions cubes. On vous fait étudier les fonctions cubes dans le chapitre sur la dérivation avec études de fonctions, principalement parce que la dérivée des fonctions cubes seront des fonctions carrées. Les fonctions carrées c'est un grand chapitre de l'année, donc on est content de vous en mettre une petite couche ici. Donc grand classique, ça il faut vraiment le savoir le faire, refaire, je vous conseille de vous regarder, vous relisez, vous refaites autant que vous pouvez parce que vous allez en avoir vraiment une bonne dose et ça tombera à des contrôles c'est sûr. C'est vraiment un classique, je le mets dans les exercices qu'il faut connaître par cœur en gros parce que ça tombe tout le temps. J'ai polynôme du degré 3, donc pol du degré 3, je suis paresseux, polynôme du degré 3, dérivable sur R. Un polynôme du degré ce que vous voulez est dérivable sur R. Il serait degré 9, ça serait pareil, tous les polynômes sont dérivables sur R. On a, quel que soit x appartenant à R, g'2x égal. Alors là il faut se rappeler ces formules, x3 ça se dérive en 3x², x2 ça se dérive en 2x et x ça se dérive en 1, 24 ça se dérive en 0. Donc ça donne moins 2 tiers fois 3x², plus 3 fois 2x, plus 56 fois 1. Voilà, et donc g'2x, on va copier ça, quel que soit x appartient à R, g'2x égal, les 3 vont se simplifier, donc moins 2x² plus 6x plus 56. Parfait. Deuxième étape, une fois qu'on a montré, c'est toujours la même chose, une fois qu'on a montré que la fonction était définie dérivable, on calcule la dérivée, on étudie le signe, puis on fait un bilan dans un tableau avec ensuite les variations de la fonction. Donc étudions le signe maintenant, ces 1, 2, 3 vont devoir devenir des automatismes, s'ils ne sont pas proposés quand on vous dit étudiez une fonction, voilà ce qu'on va attendre de vous. Donc là pour l'instant on vous guide parce que c'est le début, après il faudra s'habituer et le faire tellement que vous saurez que c'est ça ce qui est attendu. Donc étudions le signe, on va déjà écrire, comme on a g'2x comme ça, je vais mettre moins 2 en facteur pour simplifier un peu l'écriture, donc c'est x2 moins 3x, et si je mets moins 2, ce sera moins 56 divisé par 2, 28. Là on va étudier le polynôme, on va écrire delta égale 9, donc moins 3 au carré, donc 9 moins 4, donc plus, moins 4 fois assez, plus 4 fois 28, c'est moins 4 fois moins 28 si vous voulez, et ça ça fait combien? 4 fois 28 c'est 4 fois 25, 100, plus 4 fois 3, 12, 112, plus 9, 121, c'est parfait. En général ça fonctionne bien dans les exercices, on met souvent des nombres entiers, donc ça fait 11 au carré. Et j'obtiens que je sais que ça c'est une fonction polynôme du degré 2, avec moins 2 devant x², donc je sais qu'il y a en gros une fonction qui fait la tranche, une parabole vers le bas qui fait la tête. On va calculer quand même ces deux racines, les racines de ce polynôme ce sont x1 égale, moins moins 3, donc 3, moins racine de 11 au carré, donc moins 11, le tout sur 2. Je prends le polynôme x2 moins 3x moins 28. Là je ne fais pas un rappel de cours non plus, x2 c'est moins b, donc moins moins 3, 3, plus racine de 121, 11, tout sur 2. Soit x1 égale, 3 moins 11, moins 8 sur 2, moins 4, et x2 égale, moins 3 plus 11, donc 3 plus 11, excusez-moi, c'est 14, divisé par 2, 7. On sait, vu que j'ai une fonction polynôme qui fait la tête, on sait qu'elle va être en gros, j'ai envie d'utiliser ce fait de cours pour aller plus vite, on sait qu'elle sera d'abord négative, puis positive, puis négative, en fonction de ces racines. Et donc je peux écrire le tableau de signes. J'ai g' qui va être compris entre moins 4 et 7, g' de x, qui vaut 0 en moins 4, 0 en 7. Et qui sera, vu que c'est une fonction à coefficient de range de x² négatif et qu'il y a deux valeurs de racines, je sais qu'elle est positive entre les racines. C'est le cours sur les polynômes du degré 2, donc ça fait moins plus moins, et je peux répondre à la question 3 qui dit que g' est donc décroissante. Croissante, décroissante, tout bêtement. Question 3 me demande des variations. Voilà, c'est la démarche vraiment typique avec une fonction qui est souvent demandée, et une petite révision sur les polynômes du second degré que vous devez connaître parce que ce genre d'exos on voit tout le temps. Voilà, je vous dis à la prochaine, posez des questions si nécessaire, bye bye.

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