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Dérivation : variations de fonctions

Dans ce cours, on apprend la méthode de dérivation pour résoudre des problèmes d'optimisation où l'on cherche à trouver la plus grande ou la plus petite solution possible avec des contraintes. On prend l'exemple de trouver les deux nombres dont le produit est minimal avec une différence de 100. On nomme les variables x et y, et on écrit le problème sous forme d'une fonction de deux variables. On utilise ensuite la contrainte pour éliminer y et obtenir une fonction de x seul, qui est un polynôme du second degré. Comme on veut trouver le minimum de cette fonction, on utilise la formule pour trouver le point de minimum, qui est x = -b/2a. En substituant cette valeur dans la fonction, on obtient la solution, qui est le produit minimal. La méthode consiste donc à nommer les variables, mettre le problème en équation, résoudre en utilisant les contraintes, et trouver le point de minimum/maximum pour la fonction.

Un exercice d'un type assez classique, c'est un exercice dans le chapitre de dérivation, une méthode qui va consister à essayer de chercher à optimiser un problème. Optimiser ça veut dire on va vous dire quelque chose du genre voilà une boîte cubique, quelle est la plus grosse cylindre que je peux rentrer dedans, quelle est la plus grosse sphère que je peux rentrer dedans, ce genre de trucs. Et en fait on vous dit, on veut calculer quelque chose, par exemple ici on vous donne deux nombres et on vous dit je veux que leur produit soit minimal, ok. Sachant que leur différence doit être égal à 100. Donc en fait ce qui n'est pas simple dans ces exercices, parce que souvent la résolution va être facile, ce qui n'est pas simple c'est de les mettre en équation. Ça demande une initiative, ça demande une certaine indépendance de votre part, de nommer des choses, soit x soit y, poser une fonction, etc. Comprendre leur relation. Mais une fois que vous avez pris cette initiative, que vous avez écrit le problème, ou vous l'avez fait sur votre papier bouillon, la résolution avec une fonction sera en général très simple. Donc il y a deux étapes, première étape, soit x et y des réels. On me dit qu'il y a deux nombres réels, je nomme les choses, premier réflexe. Donc x et y des réels. J'explicite, vous pouvez faire au brouillon ce que je veux, moi ce que je veux c'est x fois y qui soit le plus petit possible. Et qu'est-ce que j'ai? J'ai la différence des deux noms, y moins x par exemple, qui est égal à 100. Très bien. Qu'est-ce que je vais faire comme résolution? Donc moi je veux que le produit soit le plus petit. Donc si je pose une fonction produit, le problème que j'ai, j'ai écrit pb ici, pb pour moi c'est le problème. Problème, ma fonction c'est une fonction de deux variables. Ce n'est pas du x, c'est x fois y. Donc en fait c'est une fonction de x et de y, ça jusqu'à nouvel ordre on ne sait pas faire au lycée. Donc on ne sait pas gérer. Ce qu'il faut faire pour s'en sortir c'est utiliser la contrainte qui est donnée. C'est pour ça qu'on dit optimisation sous contrainte, en général on appelle ça comme ça, selon nos problèmes. On a une contrainte, c'est que la différence est réelle à 100. Et donc je vais pouvoir utiliser cette contrainte dans l'expression de y. Pour dégager y, il n'y a que 2x. Et donc comme y vaut x plus 100 quand je mets x de l'autre côté, j'ai donc f2x égale x fois, non pas y, mais x fois x plus 100. Ça c'est en fait un polynôme du second degré. Ça fait x² plus 100x. Et comme je vous l'ai dit dans le chapitre dérivation, je vous l'ai dit multiples fois, on va beaucoup beaucoup vous mettre des polynômes du second degré pour vous les faire réviser. Parce que c'est aussi un des gros chapitres de l'année. Ici on va dire, je sais qu'un polynôme qui sourit, parce que c'est un polynôme qui a ses branches qui vont vers le haut, parce que j'ai un nombre positif de x², je sais que ce polynôme va atteindre un minimum en moins b sur 2a. Donc minimum min de f atteint en, alors là je le mets pour réviser le cours, mais il ne faut pas écrire ça sur votre brouillon, moins b sur 2a, c'est la formule qu'il faut retenir, que vous devez ne pas avoir oublié depuis le chapitre sur les polynômes. Ici c'est pour x égale, moins b c'est donc moins 100 sur 2a sur 2, ça fait moins 50. Et donc, ça c'est l'endroit où la fonction est minimale, mais combien vaut ce minimum, c'est ce qu'on me demande. Donc le produit minimal est, le produit minimal est f de moins 50 égale, je vous évite le calcul, ça fait moins 50 fois 50, moins 2500, solution de l'exercice. Moins 2500, donc ça c'est la conclusion. Le plus important pour moi, si vous comprenez surtout ces deux étapes, attention, quand il y a une contrainte un peu, on pose, on nomme les choses, on met le tout en équation, deux on résout, et pour résoudre on utilise les contraintes qu'on a établies au petit 1. Mais ça cette étape 1 et 2, des fois elle va être demandée, vous êtes demandé, spontanément, donc il ne faudra pas hésiter. Posez moi des questions si besoin et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Optimisation et contraintes avec 2 réels

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