Home

Première

Maths

Analyse

Dérivation : variations de fonctions

Dans cette vidéo, le présentateur explique comment résoudre un problème mathématique impliquant la recherche du plus grand cône qui peut entrer dans une sphère. Il montre deux mises en équation différentes et explique que l'une est plus complexe que l'autre. Il donne des conseils sur la façon de poser les variables et montre comment calculer la dérivée pour trouver le maximum. Le présentateur souligne l'importance de faire attention à la mise en équation dès le départ car cela peut avoir des conséquences sur la résolution du problème. Finalement, il montre comment trouver la valeur de la variable qui rend le volume maximal.

Un exercice d'optimisation sous contrainte que j'aime particulièrement parce que pédagogiquement il va me permettre de vous montrer que la mise en équation c'est vraiment l'étape la plus importante. Comme d'habitude quand vous avez un problème un peu ouvert avec une contrainte comme ça, on vous dit on a une sphère, on veut rentrer un cône dedans, on va essayer de mettre en équation le plus proprement possible, puis ensuite de résoudre avec l'aide d'une fonction. L'idée ici c'est que je vais vous montrer deux mises en équation différentes, une qui va vous rendre la vie facile pour la partie 2, une qui malheureusement vous la rend plus compliquée. Alors je pense pas que c'était facile de savoir laquelle utiliser a priori, l'idée c'est de vous montrer que ça a des conséquences et que bon il faut bien s'y faire attention. Première chose c'est de comprendre le problème, donc on voit qu'on parle de trouver le cône maximal, le plus gros cône qui va rentrer dans la sphère, on peut comprendre que quand A va ici par exemple, j'aurai un tout petit cône qui aura un volume 0, puis quand A augmente j'aurai des cônes comme ceci, quand A augmente encore, enfin quand A se déplace ici, j'aurai à la fin donc des cônes plutôt balèzes au milieu, comme ça, mais à la toute fin j'aurai aussi un mini cône là, qui aura aussi un volume qui va tendre vers 0. Donc en fait je pars de 0, le volume quand A est tout collé ici, j'ai plein de choses qui se passent, des jolis cônes comme ça dont 1 est assez gros je pense, il y aura le cône maximal ici, jusqu'à des cônes tout fins qui ont aussi un volume 0. Donc je vois que l'existence d'un maximum fait sens géométriquement. Mettons en équation la première manière, la première fois, donc, formule de V, ça c'est simple, c'est 1 tiers de l'aire de la base du cône fois sa hauteur, 1 tiers fois l'aire de sa base, donc c'est A h² fois π, donc c'est π fois le rayon du cercle, fois la hauteur hs. Très bien. On met en équation, première chose qu'on peut faire c'est dire que je dois poser l'équation x, une inconnue x, je pose x aïelle A h. Si je fais ça, A h² devient x² et je dois exprimer hs. hs c'est quoi? hs c'est la hauteur, c'est s o, qui est connu, c'est R, plus O h. Donc c'est R plus O h. O h, je peux le trouver grâce à Pythagore, tout bêtement. Là j'ai un triangle rectangle, donc je peux dire que O h² c'est l'hypothénus R² moins x². Et donc, quand j'écris hs, ça fait finalement R plus O h, R plus la racine de R² moins x². Très bien. J'obtiens une expression assez moche honnêtement de V2x. J'ai du x² fois du R plus racine de R² moins x², c'est gérable avec les formules que vous avez vues, de racine de U qui peut se dériver, tout ça, mais c'est vrai qu'on ne se sent pas gâté. Là on a ça, ça va être galère, ça va être un peu moche, et ça risque d'apporter, plus c'est moche et galère, plus vous avez de chance de vous planter dans le calcul de dérivés. Donc, pas top. Je vais vous montrer une deuxième mise en équation, qui, il se trouve, va quand même nous rendre la vie plus facile. C'est, quand vous êtes confronté à ce problème, c'est de se dire, tiens, peut-être, donc si on a 10 élèves, peut-être que quelques-uns vont faire ça, d'autres vont faire la première. Tiens, si je mettais O h, M mon x. Très bien. Dans ce cas-là, A h² c'est quoi? A h², dans la formule du volume, c'est R²-x², et l'avantage que j'ai, c'est que là on parle de A h². Je ne vais pas introduire des racines, donc déjà, je suis beaucoup moins en galère que dans la première mise en équation. Donc c'est très bien. Ensuite, il faut que j'exprime H s, qui est donc égal à S o plus O h de la même manière, donc S o toujours grand R, et O h c'est x ici, très simplement. J'obtiens une formule beaucoup plus digeste. R²-x² fois R plus x, bon c'est du degré 3, d'accord, mais ce n'est pas des racines fois des trucs, ce n'est pas un truc relou. Et donc voilà, deux mises en équation qui a priori n'ont pas de raison d'être bonnes ou fausses, mais qui mènent à quand même une étude beaucoup plus simple dans le deuxième cas. Je vais faire l'étude maintenant de la fonction, donc l'étape 2 du raisonnement, la résolution du problème. Je vais étudier quand est-ce que ce volume est maximal. Un truc bien à comprendre dès le début, c'est que quand x est ici, il faut comprendre ce qu'il peut avoir comme valeur. x, il peut prendre des valeurs. Si on considère que x est comme ça, il peut aller jusqu'à moins R ici, pour un cône tout fin, et ensuite si on considère que x commence à 0 ici, il peut aller à moins R, mais il peut monter jusqu'à plus R aussi. Là, quand on a le dernier cône tout là-haut. Pour un cône comme ça, on a un x qui vaut OH qui est plus élevé. Donc là, il sera négatif, là il sera positif. Donc x appartient à moins R, R. Ça je vous l'ai dit. On pourrait dire ça ici, x appartient à moins R, R. Sachant que moins R et R, c'est des cônes plats, mais je les inclue quand même. Donc calculons la dérivée. Ça fait pi sur 3 fois, alors au moins on peut soit développer tout et calculer le x3 et tout, soit j'ai fait un petit u'v plus v'u en disant que ça c'est u et ça c'est v. On obtient ce truc-là. On se rend compte que c'est un polynôme du second degré qui fait la tête. Comme ça. Donc en gros, s'il est comme ça, je sais qu'il va être à l'avance, je sais déjà qu'il va être moins, plus, moins, il va être positif en-dessous de ses racines, négatif en-dehors. Très bien. Je calcule le delta, je trouve quelque chose de positif et qui plus est, je trouve 4R le tout au carré. Vous faites le calcul, vous verrez. Je trouve un truc parfaitement au carré, joli et qui marche bien. L'exercice est bien fait. x1 je trouve R sur 3, x2 je trouve moins R. Donc j'écris, je suis dans mon tableau de variation, j'écris moins R R sur 3, c'est là qu'il vaut 0, le v', v' vaut 0 en ces deux points. Et je sais que c'est une fonction parabole qui va vers le bas, comme je disais il y a une seconde, comme ça. Donc je sais qu'elle est positive entre ces deux racines. Donc entre moins R et R sur 3, elle est positive. Donc ça croît. Elle est négative au-delà de R sur 3, donc ça décroît. Conclusion, voilà ce que je peux dire. Le volume maximal est atteint pour un rayon de R sur 3. Donc vmax, ce qu'on vous demande, c'est l'égal de v de R sur 3. Là je vous laisse sur le calcul aussi, il faut mettre R sur 3 à la place de x ici, vous trouverez la valeur du volume. Mais on sait en tout cas que ça arrive quand ce x vaut R sur 3. Donc c'est parfait, on est content. Voilà, c'est la fin du problème. J'espère que c'était clair. Moi le truc le plus important, c'est pas vraiment la résolution en soi, c'est de vous montrer qu'il y a deux mises en équation possibles et que l'une peut vous simplifier la vie. Donc ça compte de passer du temps, de bien regarder comment poser ces variables, etc. Sur ce, posez des questions si y'a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Cône dans une sphère

RELATED

Recommended videos

Une famille de fonctions !

Qui est f qui est f' sur un graphique ?

Lien entre signe de f et de f' ?

Nos années

Nos principales matières