Home

Première

Maths

Analyse

Dérivation : variations de fonctions

Dans cet exercice de mathématiques, l'objectif est de démontrer qu'une expression en fonction de x est toujours plus grande que 2. Pour cela, deux méthodes sont proposées. La première consiste à poser une fonction f de x et à l'étudier pour montrer que f de x est toujours supérieure à 2. La seconde méthode utilise l'identité remarquable pour reconnaître que cette expression est égale à un carré parfait. Dans tous les cas, il s'agit de montrer que l'expression est positive ou nulle, ce qui permet de démontrer l'inégalité.

Un exercice que j'aime beaucoup, j'aime bien parce qu'il va vous aider à développer un réflexe. Vous verrez, quand on vous demande de démontrer souvent une inégalité ou une expression comme ça, genre quelque chose en fonction de x plus grand ou égal à 2 par exemple, il faut souvent prendre le réflexe de dire je pose une fonction, je l'étudie, et je vois que de fait c'est vrai que la fonction est toujours plus grande que 2. Donc faisons-le tout de suite, c'est le réflexe qu'on va attendre de vous. Posons une fonction. f tel que f de x égale racine de x plus 1 sur racine de x. Qu'est-ce qu'on va faire? On va l'étudier et on va espérer qu'elle est toujours au-dessus de 2. On va dire pour x, positif strict. C'est donné par l'énoncé mais on sait aussi parce qu'en dessous de la racine on veut positif ou nul, et vu que c'est divisé par racine de x on veut différentes zéros donc positif strict. On l'étudie, on dit f dérivable, puisque c'est des racines donc il n'y a pas de problème. Les racines c'est non dérivable uniquement en zéro mais ici zéro est exclu. Donc quel que soit x, positif strict, f' de x égale. On applique ces formules, on connait bien, il faut connaître la dérivée de tout ça. C'est 1 sur 2 racine de x plus, si vous voulez vous pouvez prendre ça comme 1 sur u. Donc ça va faire u' sur, 1 sur u ça fait moins u' sur u². Donc là ça va vous faire plus, moins u', alors attendez c'est 1 sur u donc ça fait moins u', moins 1 sur 2 racine de x, le tout divisé par racine de x² qui est x. Parfait, donc f' de x égale au final, je peux mettre en facteur 1 sur 2 racine de x, facteur de 1, moins 1 sur x. Je remarque tout de suite que ça c'est toujours positif, et donc je vais pouvoir dire, étude de fonction, après avoir regardé l'expression de f' de x, on regarde quand est-ce qu'il est positif, f' de x positif ou nul, si et seulement si, 1 moins 1 sur x est positif ou nul, vu que ça c'est toujours positif. Et ça c'est vrai, si et seulement si, x est plus petit que 1, plus grand que 1 je pense. Ça fait 1 sur x plus petit que 1, x plus grand ou égal à 1. Parfait, on trace le tableau de variation comme ceci, on obtient, entre 0 qui est une valeur interdite en l'occurrence, valeur interdite, et plus infini, on a 1, la dérivée est donc négative, positive, nulle, ça c'est la colonne ici, donc c'est la ligne de la dérivée, ça c'est la fonction, elle décroit, elle croit. Et là on sent le bonheur arrivé, parce qu'on se dit, on a l'impression que la fonction est toujours supérieure à une certaine valeur, ça c'est f de 1, et on espère à ce moment là, vu ce qu'on veut démontrer, on espère que f de 1 c'est égal à 2. Comme ça on sera bon, on pourra dire, quel que soit x positif, f de x est supérieur ou égal à f de 1, or f de 1 égal 1 plus 1 sur racine de 2. Et donc on a démontré la question, on est trop content. On a démontré que quel que soit x, racine de x plus 1 sur racine de x est plus grand ou égal à 2. C'est fini. C'est exactement le réflexe qu'il faut prendre. Deuxième raison pour laquelle j'aime bien cet exercice, c'est qu'on peut le faire sans poser de fonction, mais encore une fois je le montre en deuxième, parce que le but de ça c'est de vous donner ce réflexe de poser une fonction qu'on étudie. C'est comme ça la méthode officielle, en tout cas celle qu'ils attendent de vous je pense. Deuxième méthode, on peut reconnaître son identité remarquable dans ce qu'on nous demande. On pourrait dire soit grand x tel que grand x² égal racine de x. Je sais que racine de x est positive, donc je pourrais dire que racine de x c'est peut-être un x². Vous allez me dire, de quoi tu parles? Comme ça je peux écrire racine de x plus 1 sur racine de x moins 2 égal grand x², je fais un changement de variable qui m'arrange bien, plus 1 sur x² moins 2. Et là je peux dire, oui mais ça, je reconnais grand x moins 1 sur grand x, le tout au carré. C'est vraiment, je vous fais le coup du prof qui sort le truc du chapeau. Mais c'est pour vous montrer qu'on peut faire sans fonction. Ce truc là est donc toujours, enfin c'est égal à un carré parfait. En effet vous développez, vous trouvez x² moins 2 fois x fois 1 sur x, ça fait moins 2 plus ça au carré. Et ça c'est quoi? C'est un carré. Comme carré parfait, c'est toujours positif ou nul, j'ai donc montré que ce truc là est positif ou nul. Voilà, en remarquant qu'il a un peu une structure de carré parfait, je pose un grand x pour le voir mieux, je peux montrer que c'est positif directement sans étude de fonction. C'était le petit bonus à la fin, l'idée principale c'est, quand vous demandez un truc comme ça, vous posez une fonction, vous la dérivez, vous l'étudiez, vous faites le tableau, ça vous donne le résultat que vous voulez. C'est la méthode la plus typique jusqu'au concours de prépar'ingénieur si vous voulez. Sur ce voilà, posez-moi des questions si nécessaire, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Inégalité : poser une fonction !

RELATED

Recommended videos

Une famille de fonctions !

Qui est f qui est f' sur un graphique ?

Lien entre signe de f et de f' ?