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Dérivation : variations de fonctions

Ce cours traite de l'étude d'une fonction classique, en partant de son énoncé. La première étape consiste à déterminer l'ensemble de définition de la fonction, qui est R (l'ensemble des nombres réels). Ensuite, on examine les variations de la fonction. Dans ce cas, la fonction est impaire, ce qui signifie qu'elle présente une symétrie par rapport à l'origine du repère. Grâce à cette propriété, on peut étudier la fonction uniquement sur le côté positif de l'axe des abscisses (R+), et ensuite appliquer une symétrie pour obtenir le comportement de la fonction sur le côté négatif (R-).

Une remarque importante est que la fonction est dérivable car elle est le quotient de deux fonctions dérivables (ou polynômes). On utilise la formule de dérivation pour calculer la dérivée de la fonction et ensuite on étudie son signe. On obtient que la dérivée est positive ou nulle lorsque x est compris entre 0 et la racine carrée de 3. À partir de là, on peut tracer le graphique de la fonction en utilisant ces informations.

Pour tracer correctement la courbe, il est conseillé de réaliser une étude plus approfondie en utilisant des notions de convexité et d'autres techniques avancées. Dans cet exemple, on se contente d'esquisser le graphique en indiquant qu'il y a un point maximum en 0 avec une pente de 1/3. Ensuite, la courbe descend jusqu'à tendre vers 0 lorsque x tend vers plus l'infini. Pour le côté négatif (R-), on fait simplement une symétrie par rapport à l'origine pour obtenir le comportement de la courbe.

En résumé, le principal enseignement de ce cours est la possibilité d'utiliser la parité d'une fonction (pair ou impaire) pour simplifier son étude et gagner du temps. Ce concept permet de déterminer le comportement de la fonction sur R+ et ensuite d'appliquer une symétrie pour obtenir le comportement sur R-.

étude de fonction classique dans son énoncé mais il y a des petites choses intéressantes à montrer et des choses à retenir qui peuvent vous simplifier la vie pour d'autres exercices. On va regarder ça ensemble. Tout d'abord, le truc que j'aime bien faire, encore une fois, je me le répète souvent, c'est vous faire faire l'ensemble de définitions. En fait là on vous dit définition R, non. Pensons-y, pensons comme si l'énoncé ne l'avait pas donné. Quelle est Df ? Df c'est x sur x²±³ x²±³, donc question 0. x²±³ est positive strict, donc ça ne s'annule jamais et l'ensemble de définitions est bien R, voilà. Étudiez les variations de f. Première remarque, la fonction f est impaire. Une fonction impaire, c'est une fonction qui vérifie. Alors je le mets tout de suite, c'est une fonction. Alors en termes de graphique, c'est une fonction comme par exemple que vous connaissez y égale x. Elle est symétrique par rapport au point O. Et on le voit quand f de –x est égal à –x sur –x² ça fait x²±³ –x² ça reste x², c'est –f de x. Quand on a ce critère f de –x égale –f de x, la fonction est impaire. Si f est impaire, on l'étudie que du côté positif. Donc sur R+, pourquoi ? Parce qu'une fois qu'on a étudié sur R+, tout ce qu'on a à faire c'est faire la symétrie par rapport au point O. Donc une fois que j'ai déterminé tout le comportement à côté R+, j'ai en fait déterminé le comportement à côté R-. C'est pareil pour une fonction paire qui vérifierait f de –x égale f de x, sauf qu'au lieu d'avoir une symétrie autour du point O, pour une fonction paire ce serait comme x², j'aurais une symétrie par rapport à l'axe OY. F est impaire, c'est ça, un des éléments de cet exercice que je voulais vraiment vous transmettre. Donc vous avez ça, ça vous sauve un peu des galères. Donc f dérivable, ça c'est une première remarque, remarque gain de temps. Ça remarque, je ne sais pas trop, gain de temps, donc je vais mettre ça ici. Je vais créer un gain de temps. On est content, quand on a ça, on va gagner du temps et ne pas faire deux fois la même chose. Donc ça, c'est la remarque gain de temps. F dérivable, je vais mettre ça un peu plus bas, le thème d'après c'est ça. F dérivable, car quotient de fonction dérivable. Quotient de polynome, si vous voulez. On appelle ça aussi une fraction rationnelle, même si c'est hors programme de savoir ça. C'est un quotient de polynome, donc c'est dérivable. On peut écrire, quel que soit x, je vais mettre positif ou nul, vu qu'on est sur R+. Alors, f' de x égal. J'applique la formule de u sur v' donc u'v moins v'u sur v², il faut la connaître par cœur. u' c'est 1 fois x2 plus 3 moins x2 plus 3, donc c'est pas du tout ça, la dérivée de x2 plus 3 c'est moins 2x fois la fonction reçue qui est x, le tout sur x2 plus 3 au carré. Donc faites le si vous n'êtes pas sûr, vérifiez, mais ça se fait vite. Ça fait donc x2 plus 3 moins 2x², ça fait 3 moins x² sur x2 plus 3, le tout au carré. Très bien. J'ai étudié le signe, je dis f' de x positif ou nul, si et seulement si 3 moins x² positif ou nul, si et seulement si x² plus petit que 3 si et seulement si, vu qu'on est sur R+, je vais pouvoir dire 0 plus petit que x plus petit que racine de 3. Si on était sur R, j'aurais mis un moins racine de 3 ici. Vu que là on est sur R+, et qu'on compensera tout ça plus tard par symétrie, je peux en rester là. Et donc tracer la courbe dans un repère, alors attention, on va faire le petit tableau, on écrit x, les valeurs de x ici, entre 0 et plus infini si vous voulez, 0 plus infini, racine de 3, là f' vaut 0, et j'ai plus qu'à tracer. Donc, f' vaut 0, il est positif avant racine de 3, négatif après, c'est f' de x, c'est x, donc la fonction f monte, puis descend. C'est un peu tout ce que je voulais vous faire dans cet exos en soi. Après on vous dit, tracer la courbe représentative dans un repère, ce qui est intéressant pour ça, en général pour la tracer proprement, c'est de faire une étude plus complète type terminale, où en fait on va étudier la tangente en 0, on va calculer f' de 0 égale f' de 0 c'est quoi ? C'est 3 sur 9, c'est 1 tiers. Donc ça je sais comment elle part du point 0 quand je vais la tracer. Je sais qu'elle monte, et puis elle va redescendre en plus infini, en plus infini je vous le dis, ça se calcule vite, c'est x sur du x² donc la fonction, c'est beaucoup plus gros en dessous, ça va tendre vers 0. Donc je peux tenter un tracé comme ça. C'est plus en terminale avec des notions qu'on appellera de convexité etc qu'on pourra faire des tracés intéressants. Ici je peux vous le faire assez vite fait, ça vous fait un truc où vous savez qu'on part avec une pente 1 tiers, on va ensuite à un point maximum qui vaut je ne sais combien, vous pouvez le calculer f de racine de 3. Ça il faut faire le calcul. Ça vous donne une allure de courbe, donc je fais au moins l'allure, qui ressemble à ça. Et qui va ensuite tendre vers 0. Ça va se coller à 0 au loin si vous voulez. J'ai fait un truc pas beau. Vous avez compris, ça monte puis ça redescend pour se coller à 0 là-bas. Qu'est-ce que je fais en face ? Ensuite du côté R- tout ce que j'ai à faire c'est une symétrie où ça part pareil comme ça. Et ça va se coller là-bas. L'idée étant que ça se recolle en 0 comme ça. Voilà. Voilà l'allure, on sait que ça se colle en 0 ici, ça a un maximum mais ça arrive en 0 avec une pente 1 tiers. Bon bah très bien. Je fais la symétrie de l'autre côté ensuite et j'y suis. Voilà comment faire une étude de fonction. Je voulais vraiment insister sur le truc de la parité. Ça pour moi c'était le plus important. Montrer qu'elle avait un maximum et un minimum, ça c'est déjà fait. On a montré qu'il y a un maximum ici donc un minimum par symétrie. La symétrie nous fait gagner beaucoup beaucoup de temps. J'espère que c'était assez clair pour vous. Retenez cette méthode de toujours checker si une fonction est paire ou impaire pour gagner à moins de galères. Et je vous dis à la prochaine. Posez des questions s'il y a besoin, comme d'habitude. Bye bye !

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