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Dérivation : variations de fonctions

Dans cette vidéo de mathématiques, l'objectif est d'étudier une fonction avec une valeur absolue et de déterminer si elle est paire ou impaire. Si la fonction est paire, on peut la réduire à l'étude de son domaine sur R+. Ensuite, pour se débarrasser de la valeur absolue, l'expression est écrite différemment sur différents intervalles. En étudiant le taux d'accroissement, on peut déterminer la non-dérivabilité de la fonction en 0. Enfin, sur R+, la fonction, un polynôme de degré 2, est tracée en tenant compte de sa non-dérivabilité en 0, ainsi que son symétrique sur R-.

un exercice pour aller un peu plus loin, où la difficulté va être dans l'expression de la fonction elle-même. Dans cette fonction, on a une valeur absolue. Deux difficultés avec la valeur absolue, c'est qu'on sait que pour la tracée en général, on va avoir des trucs un peu bizarres, du genre une espèce de branche un peu comme ça avec des coins, et notamment une non-dérivabilité en zéro. Si vous avez une valeur absolue, on sait qu'en zéro, il n'est pas possible de définir une unique pente de tangente. Donc les questions suivent un ordre assez logique dans... Disons que si vous n'avez pas dénoncé et qu'on vous disait juste étudier la fonction, il faudrait que vous-même vous débloquiez ces points. Première étape, c'est une étape générale pour toute fonction, c'est montrer que, enfin, checker en tout cas si la fonction peut être paire ou impaire. En effet, si vous faites ça, il n'est pas impossible ensuite que vous puissiez réduire l'ensemble d'études à R+, parce qu'ensuite vous pouvez dire si elle est paire ou impaire, on peut juste compléter sur R- par symétrie. Ici on va regarder, est-elle paire? En effet, vu qu'on a deux parties de fonction x² et valeur absolue qui sont elles-mêmes paires, on finit avec une fonction qui est paire. Si elle est paire, on va se limiter à R+, et on fera pour compléter une symétrie par rapport à l'axe Y. Donc fpaire, on étudie sur R+. Voilà, c'est la conclusion logique dès que vous avez la parité ou imparité. Petit 2. Une valeur absolue, on n'aime pas ça, on ne sait pas quoi faire de cette expression, donc on a envie de se débarrasser de la valeur absolue, quitte à avoir différentes expressions sur différents intervalles. On va écrire f2x égale, puis on va faire une petite accolade, et on va écrire x²-x si x est positif ou nul. Elle vaut x²+, si x est négatif ou nul. Voilà, ça c'est sur R+, sur R-. Moi ce que je vais faire, c'est uniquement tracer sur R+, mais j'ai besoin d'avoir l'expression sur les deux. Donc je mets "-x", parce que valeur absolue de x, ça vaut x sur R+, donc je vais le remplacer par x ici, et ça vaut "-x sur R-", donc j'ai "--x qui fait plus x". Ce que je veux c'est étudier, est-ce que la fonction va être dérivable, donc je vais devoir regarder ce qu'il se passe pour le taux d'accroissement. Donc ce qu'on va faire, c'est pour ça que pour le taux d'accroissement, vu que je vais le calculer de deux côtés, j'ai besoin de deux expressions. Donc calculons le taux d'accroissement. Je vais appeler ça taux, comme le laitre grec. Taux d'accroissement en 0 de f, égale. On va regarder ce que ça donne. On va appeler ça en 0+. On va regarder en 0+, ce que ça donne, c'est-à-dire en 0 un peu plus gros que 0. Donc taux en 0+, c'est f de 0 plus h, moins f de 0, le tout sur h. Avec h strictement positif. Donc combien vaut ce taux? Ça fait f de h, donc quand h est strictement positif, f de h c'est h² moins h. Je me réfère à ce qui est écrit au-dessus. F de 0, ça fait toujours 0, ça n'y a pas de problème. Je divise le tout par h, et j'obtiens, égale, h moins 1. Dans ce cas, ça veut dire que quand h tend vers 0, je vais mettre 0+, pour dire 0 par valeur supérieure à h étant légèrement positive, le taux d'accroissement tend vers moins 1. Donc quand j'arrive par la droite, par 0, 2, 0, 1, 0, 0, 5, 0, 0, 1, quand je m'approche de 0 de ce côté-là, j'obtiens moins 1 comme pente de la tangente. Si maintenant je calcule en 0-, donc quand je m'approche par moins 0, 1, moins 0, 0, 5, moins 0, 0, 1, etc. de 0 comme ça, le taux en moins 1 de f, le taux en 0 moins de f, encore une fois c'est une écriture que moi j'utilise, à vous d'utiliser l'écriture de votre prof, j'ai f de 0 plus h, moins f de 0 sur h, avec ici h légèrement négatif. Encore une fois, pour le taux, vous décrivez, c'est pas une écriture acceptée partout, c'est moi qui le fais parce que je trouve ça pratique. Donc j'écris f de h, moins f de 0 sur h, mais cette fois-ci j'applique à f de h, l'expression qui est ici, donc ça fait h carré plus h, divisé par h, puisque f de 0 est toujours égale à 0. Tout ça, ça fait h plus 1, et ça converge vers 1, quand h tend vers 0 par valeur inférieure. Donc, qu'est-ce qui se passe? J'ai une limite non unique du taux d'accroissement autour d'un point. Pour 0, j'ai deux limites possibles, c'est donc une fonction non dérivable en 0. Donc je peux écrire lim de taux 0, moins 2f, quand h tend vers 0, différent de taux 0 plus de la limite, de taux 0 plus 2f, quand h tend vers 0, donc les taux d'accroissement en venant de la gauche et en venant de la droite n'ont pas la même limite, donc f non dérivable en 0. On vous dit ensuite, étudiez la fonction f sur r+, et puis on tracera en faisant une symétrie. Sur r+, j'ai une fonction qui vaut x2 moins x, f2x, égal x2 moins x, honnêtement j'ai même pas besoin de faire la dérivée, je sais que c'est un polynôme qui sourit, c'est un polynôme du degré 2 qui sourit parce qu'il a un terme x2 qui est positif, et je vois tout de suite, quand je factorise, qu'il s'annule en 0 et en 1. Si je fais moins b sur 2h, je comprends aussi que son maximum est en 1 demi. Je peux tracer automatiquement sur r+. Un polynôme qui va ressembler à ça, qui vaut 0 en 0, 0 en 1, il a un minimum en 1 demi qui vaut 1 demi x 1 demi donc 1 quart, je sais que c'est cette parabole qui remonte comme ça. Qu'est-ce que j'ai à faire ensuite? Je dois faire le symétrique de ça sur r-, et le symétrique de ça sur r- c'est quoi? C'est quelque chose comme ça. J'ai cette espèce de demi-parabole coupée d'un côté, même chose de l'autre, et je vois, j'ai fait le dessin un peu à la main, mais je vois qu'ici, en effet, j'arrive au point 0 avec une demi-tangente de pente moins 1, et je repars ici avec une demi-tangente de pente 1. J'ai donc un point de non-dérivabilité, et en général ce sont des points avec des coins comme ça, mais je peux quand même faire l'étude de la fonction et le tracer sans trop de problèmes. Il y a plusieurs étapes, plusieurs choses à respecter, je voulais le faire parce que c'est un exemple assez complet, le genre de difficultés qu'on peut vous donner. J'espère que c'était clair, posez des questions s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye!

Valeur absolue et dérivabilité

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