Home

Première

Maths

Analyse

Dérivation : variations de fonctions

Ce cours d'analyse porte sur l'étude de la fonction f(x) qui contient une racine et une valeur absolue. On nous demande de trouver l'expression de f(x) sans valeur absolue, d'étudier sa dérivabilité et de tracer la courbe CF. Pour éliminer la valeur absolue, nous avons deux expressions à utiliser en fonction de la valeur de x. Pour étudier la dérivabilité en 1, nous trouvons deux pentes différentes, ce qui signifie que f(x) n'est pas dérivable en 1. Pour étudier les fonctions, nous dérivons f(x) en fonction de x et trouvons qu'elle est strictement croissante pour x inférieur ou égal à 1 et pour x supérieur ou égal à 5/4. Finalement, en traçant la courbe CF, nous voyons qu'il y a un point de rebroussement en 1 où la fonction n'est pas dérivable mais reste continue.

Un exercice un peu plus difficile que la moyenne, encore une fois, pourquoi? Parce qu'on a, dès l'énoncé, dès la forme de f, une racine, une valeur absolue. Deux sources de non-dérivabilité. Donc on va regarder ça. On vous dit, donnez l'expression de f sans valeur absolue. C'est souvent une des premières choses qu'il faut faire, parce qu'on n'aime pas la valeur absolue, on aime bien avoir un truc bien clean, on comprend un peu à quoi ça va ressembler. Sur différents ensembles. Deuxième question, étudiez la dérivabilité. Troisième question, étudiez les fonctions. La fonction sur les deux intervalles, etc. Assez classique. Le petit twist, c'est cette valeur absolue. Si x plus grand que 1, on sait que x moins 1 valeur absolue est égale à x moins 1. Si x est plus petit que 1, c'est égal à 1 moins x, l'opposé. On peut écrire donc que f de x est égal à x moins racine de x moins 1, quand x est plus grand que 1. Et x moins racine de 1 moins x, quand x est plus petit que 1. Jusque là, pas trop de difficultés. Étudiez la dérivabilité de f en 1. Alors là, qu'est-ce qu'il faut faire? On sait que pour la valeur absolue, le problème principal, c'est qu'on a deux demi-tangentes, deux pentes, qui partent, comme ça, vers les nombres positifs, vers les nombres négatifs. Les pentes sont différentes, et c'est ce qui cause la non-dérivabilité. La dérivabilité, c'est avoir une pente unique et finie. On peut regarder ici, calculons ce qui se passe pour le taux d'accroissement de f au point 1 en arrivant par la droite. Comme on a vu que dans la valeur absolue, il peut y avoir des problèmes comme ça, on va regarder si on arrive par la droite ou si on s'approche par la gauche. En arrivant par la droite, ce que ça veut dire, que j'ai dessiné ici, c'est que sur la droite des réels, je vais m'approcher de 1 en arrivant par 1,2, 1,1, 1,05, etc. Je vais considérer un petit h positif, tel que 1 plus h est au-dessus de 1. J'ai créé ce taux d'accroissement en 1+, 1+, ça fait référence au fait qu'on est un petit peu au-dessus, f de 1 plus h moins f de 1 sur h. Vu que je suis au-dessus de 1, je peux utiliser comme f de x cette expression-là. Ça donne f de 1 plus h, ça fait 1 plus h moins racine de 1 plus h moins 1, moins racine de h, moins f de 1. F de 1, quand vous mettez 1 là-dedans, ça fait 1. Le 1 a le bon goût de dégager, il vous reste h moins racine de h sur h, ça simplifie h sur h, ça fait 1, racine de h sur h, ça fait 1 sur racine de h. Et là, qu'est-ce qui se passe? Quand h devient très très très petit, racine de h devient aussi très très petit, on s'approche de 0, et quand on divise par quelque chose qui devient très très petit, 1 divisé par 0, ou quelque chose de très faible, ça fait plus infini. Donc ça, ça tend vers l'infini. On met un signe moins devant, ça tend vers moins l'infini. Déjà, donc, c'est pas dérivable. Parce qu'on sait que pour être dérivable, on attend une limite finie. On peut quand même regarder ce qui se passe quand on arrive au point 1, non pas par la gauche, mais par la droite, c'est-à-dire en s'approchant en 0.8, 0.9, 0.9, 0.5, 0.999, donc cette fois-ci, je prends un petit h négatif, je dis que h est négatif ici, je suis un peu en dessous de 1, donc j'écris toujours 1 plus h, mais vu que h est négatif, ça correspond à un cas où c'est 0.999, mon approche par la gauche, si vous voulez. Quand h s'approche de 1, j'approche de... Quand h s'approche de 0, 1 plus h s'approche de 1 par en dessous. Donc pareil, cette fois-ci, ce que je dois faire, c'est utiliser l'expression numéro 2, avec racine de 1 moins x, et je me retrouve ici avec moins racine de moins h. Ça fait bizarre d'écrire racine de moins h, mais vu que h est négatif, on est content, c'est bien défini, la racine prend un argument qui est positif. J'obtiens quoi? Les 1 s'en vont, il reste h sur h qui fait 1, il reste moins racine de moins h sur h. Ce que je fais ici, c'est que ce moins, je le mets en dessous. Je veux dire que c'est plus racine de moins h sur moins h. Pourquoi? Parce que là, j'ai un nom positif, la racine est un nom positif, et j'ai ce nom positif ici. Je sais que racine de a sur a, pour a positif, ça simplifie en 1 sur racine de a. Il se trouve ici que mon a, c'est moins h. C'est parfait, j'écris ça. Et je trouve 1 plus 1 sur racine de moins h. Ça, un peu comme tout à l'heure, quand h tend vers 0 ou moins, c'est-à-dire que h devient de plus en plus proche de 0, mais sachant que h est négatif, donc h valait moins 0, 1, il vaut maintenant moins 0,0001, si vous voulez, moins h devient positif, 1 sur un truc tout petit, ça tend vers plus infini. Là, je fais plus 1, donc ça reste plus infini. J'ai 1 sur un truc tout petit, positif, ça devient plus infini. Donc f est clairement non dérivable en 1. C'est ça qu'on peut dire. Pour aller plus loin, si on vous dit étudiez la fonction sur moins l'infini 1 et sur 1 plus l'infini. C'est parti, on va faire ça. Si x plus petit ou égal à 1, f de x égale ça. f est dérivable jusqu'à 1, de moins l'infini à 1. Donc qu'est-ce que je fais? Je dérive f' de x égale. Et j'applique mes formules. Je sais que racine de u' c'est u' sur 2 racines de u. C'est ce que j'applique ici. u' c'est moins 1 sur 2 racines de u, c'est parfait. Donc ça devient 1 moins 1, donc ces deux moins vont se compenser. Ça me donne ce truc là. 1 plus 1 sur 2 fois 1 racine, tout ça c'est très positif. C'est positif strict je veux dire. Et donc je sais que f va être strictement croissante. Parfait. De la même manière quand x est plus grand ou égal à 1. Non là j'étais pour x plus petit ou égal à 1. Pour x plus petit ou égal à 1 c'est ça que j'ai. Donc ça va très vite vu que c'est toujours positif. Donc elle croit tout le temps. Quand x est plus grand que 1 maintenant, la question 4. J'ai l'expression qui est ici. x moins racine de x moins 1 cette fois-ci et non pas 1 moins x. f est dérivable à partir de 1 exclu jusqu'à plus infini. Je dérive et je trouve en utilisant la même formule 1 moins 1 sur 2 racine de x moins 1. Le problème là c'est que je n'ai pas un signe direct. Ce n'est pas plus ou moins, il faut que je fasse un peu d'étude. J'écris donc f prime de x positive ou nul si et seulement si. 1 plus grand ou égal à tout ça. Si et seulement si je multiplie de chaque côté, tout ça est positif. J'ai le droit donc de multiplier sans changer le sens de l'idéalité. J'obtiens ce truc là. Si et seulement si racine de x moins 1 plus grand ou égal à 1 demi. Tout ça étant positif, il y a une équivalence je peux mettre au carré. Et je trouve si x plus grand ou égal à 5 quarts. Bilan, on fait le tableau. Entre moins l'infini et 1 c'est simple, ça monte. Il ne faut pas oublier de mettre 1 comme valeur interdite pour f prime de x. En effet f prime de x, on a bien vu, ce n'est pas dérivable à ce moment là. Donc je ne peux pas avoir une valeur quelconque. Ici c'est double barre. J'ai vu quand on approchait de 1 par en dessous, ça avait tendance à aller vers plus l'infini. Et par au dessus comme ça, ça allait vers moins l'infini. On verra juste après ce que ça veut dire. f de x donc monte. Ici on avait dit que c'était croissant uniquement à partir de 5 quarts. Donc elle descend et remonte. Je peux mettre les petites valeurs ici. f de 1 ça se calcule. f prime de 1 n'existe pas mais f de 1 existe. Donc ça donne ça. De la même manière que valeur absolue de 0 égale 0 même si la fonction n'est pas dérivable en 0. Il y a quand même une valeur de la fonction. Donc là le minimum de la fonction entre 1 plus l'infini et 3 quarts, tout va bien. Pour conclure, on vous dit de tracer la courbe CF. Alors je vous fais cadeau de ça. Vous tracez la courbe CF, le plus important pour moi c'est ce qui se passe au niveau des tangentes. Donc on a dit, on arrive, on est toujours croissant ici jusqu'à 1 et après on est décroissant jusqu'à 5 quarts. Ce qui a l'air d'être le cas, c'est à peu près 1.25 ici. Puis croissant, très bien. Au niveau des tangentes, ce qui se passe c'est qu'on vous dit on arrive ici en 1 avec une tangente qui finit par être plus l'infini. Plus l'infini c'est comme racine de x. On écrit ça comme une demi-tangente verticale. Et donc quand j'arrive de la gauche en 1 moins j'arrive ici avec une demi-tangente, si vous voulez, vers le haut plus l'infini. Une tangente qui a tendance à être plus l'infini. Le problème c'est que ça n'a pas de sens d'écrire cette demi-tangente. N'écrivez pas ça, ne tracez pas ça, c'est pour vous montrer que je le fais. Et quand je repars de l'autre côté, on me dit que c'est moins l'infini la limite de cette pente. Donc en fait je comprends que je repars, j'arrive jusqu'à plus l'infini. L'autre je repars avec une pente moins l'infini, c'est à dire une pente vraiment la plus vers le bas possible. C'est une pente vraiment verticale. Et je redescends verticalement très fort pour ensuite me calmer un petit peu et remonter comme ça. Voilà un peu ce qui se passe, on appellera ça dans le supérieur un point de rebroussement. C'est quand on arrive qu'on a un truc un peu comme ça. C'est un point de non dérivabilité mais où la fonction reste définie. Elle est d'ailleurs continue, donc je n'ai pas à lever le stylo pour la tracer. J'espère que ça vous a un peu éclairé, c'est un exercice pas simple. Vraiment on est au niveau maths sup en termes d'études de fonctions là. Et posez des questions si vous en avez besoin bien sûr. Et je vous dis à la prochaine, bye bye.

Racine ET valeur absolue !

RELATED

Recommended videos

Une famille de fonctions !

Qui est f qui est f' sur un graphique ?

Lien entre signe de f et de f' ?