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Dérivation : variations de fonctions

Dans cet exercice de dérivation et de géométrie, on doit montrer que la tangente en M à une hyperbole coupe les axes en deux points, dont M est le milieu. Pour cela, on utilise une formule de tangente en un point donné, on calcule les coordonnées des points d'intersection de la tangente avec les axes, puis on montre que le point M est bien le milieu de ces deux points. Enfin, on déduit un procédé de construction de la tangente en traçant une droite passant par les points d'intersection de la tangente avec les axes et passant par le point M. Cet exercice peut être source de compréhension des comportements de courbe de tangente en géométrie.

Un exercice qui pousse assez loin l'étude de la dérivation, un exercice qui va mêler dérivation et géométrie. Ce n'est pas les plus simples, mais c'est souvent les plus intéressants parce qu'on va étudier un peu des comportements de courbe de tangente et essayer d'en déduire des choses. Par exemple ici, un procédé de construction de tangente pour une hyperbole. Donc on vous dit, soit une hyperbole quelconque, A sur X avec A positif, donc ça peut être 1 sur X, 3 sur X, 5 sur X, tout ce que vous voulez. Montrer que la tangente en M à l'hyperbole coupe les axes en deux points dont M est le milieu. En déduire un procédé de construction. Là en fait, en une phrase, vous avez exactement le plan de ce qu'on a attendu. C'est assez clair. Montrer que, il manque le que, mais montrer la tangente en M à l'hyperbole. Première étape, il nous faut une formule d'une tangente en un point M quelconque. Couper les axes. On va regarder quand est-ce qu'on coupe l'axe au X, l'axe au Y, en deux points dont M est le milieu. En suivant les coordonnées de M, voyons si c'est bien le milieu des deux points précédents. Voilà, ça c'est votre plan. Il suffit de lire l'énoncé, d'être sûr de ce qu'on vous dit, mais il faut être conscient que ce n'est pas construit, je prends toujours des questions assez ouvertes et difficiles, ce n'est pas construit en petit a, petit b, petit c, petit d, je le fais un peu en mode préparation à ce qui vous attend dans le supérieur en soi, mais vous pouvez le faire juste avec les mots-clés utilisés dans l'énoncé. En déduire un procédé de construction, ça c'est la question un peu globale, qui vérifie si vous avez bien compris tout ce qui a été fait avant, que vous n'avez pas trop la tête dans le guidon, et que vous arrivez à comprendre géométriquement ce qui a été établi. Commençons. Intro, soit f égale a sur x, ensemble de définition R étoiles, quelque soit x appartient à df, dérivé, moins a sur x2, et on prend un point M, d'abcisse petit m, et donc d'ordonnée a sur m. f de petit m égale a sur m, qui appartient à l'hyperbole ha. Tangente en m. Tangente en m, formule du cours. y égale f prime de m fois x moins m, le tout, plus f de m. On remplace par ce qu'on vient de calculer, on trouve moins a sur m carré fois x moins m, plus a sur m ici. On est content. Donc tm, tangente au point M, y égale moins a sur m carré fois x, et ensuite je mets ensemble les termes constants, plus a sur m, plus moins a fois moins m, plus am sur m2, donc plus un autre a sur m, donc ça fait plus 2a sur m. Très bien. Maintenant on me dit, cherchons les points d'intersection. Enfin on ne le dit pas comme ça, mais on me dit, montrez qu'elle coupe les axes en deux points dans M1. Donc cherchons où est-ce qu'elle coupe les axes. Faisons ça. Elle coupe aux x en un point que je vais appeler a, qui a une abscisse xa et qui est d'ordonnée 0. Forcément ça c'est le point de rencontre avec l'axe aux x, ordonnée 0 c'est normal. Et en b, ça ce sera le point de rencontre avec l'axe aux y, donc il a une abscisse 0. Je vais vous montrer un petit peu à quoi ressemble quand même tout ça. Voilà. Donc là je vais détracer une tangente, par exemple avec une hyperbole, et je peux bouger le type d'hyperbole que je veux. Tant que a est positif, là j'ai les 4 sur x, 5 sur x, 3 sur x, tout ce que vous voulez, 1,5 sur x, 1 sur x. Là j'ai différentes hyperboles. A chaque hyperbole j'ai collé une tangente. La tangente que je colle, je peux la balader. Et ce qu'on me dit c'est qu'apparemment, le point de tangence, c'est-à-dire ce point ici, va être le milieu de ce point, il y a ce point, ce point et ce point, va être le milieu des deux points. Graphiquement ça n'a pas l'air bête. Si je trace les 3, si je fais apparaître les 3 points, j'ai l'impression que ce n'est pas complètement faux. En effet, je vois qu'ils sont alignés, les 3 là. J'ai ces 3 points qui sont alignés, et j'ai l'impression que l'abscisse correspond. J'ai bien 1,3 qui est le milieu des deux, 0,8 ça a l'air d'être la moitié de 1,6. Ça a l'air de fonctionner. Si je balade un peu la tangente plus loin, je peux le faire comme ça. Ici j'ai un point, deuxième point ici, troisième point. Ça a encore l'air vrai. Ce que je vais vous faire montrer, c'est ce truc qu'on peut constater nous-mêmes en faisant un petit dessin, une petite simulation, pour n'importe quel hyperbole. Je me rends compte que j'ai l'impression que si je prends les deux points de croisement de la tangente, le point M, le point qui est sur la courbe, a l'air d'être au milieu de ce segment. Je vais retourner au math pour vous le montrer. C'était juste une illustration graphique pour qu'on voit un peu de quoi on parle. Déterminons justement XA et YB. Le point A c'est celui sur l'axe aux X que je viens de montrer, le point B celui sur l'axe aux Y. XA, 0, c'est quand Y vaut 0. Je remplis ça et je trouve XA égale 2 fois petit m. Ensuite je trouve YB, c'est l'endroit où on croise l'axe aux Y, donc c'est quand X vaut 0. Je mets un 0 ici et je trouve 2A sur M. Je trouve que pour A j'ai ça comme coordonnée, pour B j'ai ça. Pourquoi pas. Quelle est la position de M? Qu'est-ce que je fais d'abord? Je calcule d'abord le milieu de AB. J'appelle Y. Je fais comme si dans la naté, je calcule le milieu de AB, grand I. Je vois, moi je t'explique ma formule, je sais que c'est XA plus XB sur 2, YA plus YB sur 2. On verra après s'il se trouve que comme par hasard, ce milieu est bien le point M. Calculons-le tout innocemment. Je fais XA plus XB sur 2. Calcul facile parce que déjà XB c'est 0. Donc c'est XA sur 2, facile, c'était 2M, ça fait M. L'autre, le Y de Y, c'est Y de Y, c'est YA plus YB sur 2. YA facile, c'est 0 par définition. YB sur 2, mais il reste A sur M. Ah, mais qu'est-ce qu'on en déduit? M A sur M, je reconnais. C'est le point M. Et donc j'ai montré en une demi-seconde que M est bien le milieu de AB. Ça c'est super. On a en fait répondu à toute la question quasiment. On déduit un procédé de construction de la tangente. Si vous avez compris le dessin que je vous ai montré, qu'est-ce qu'on fait? Quand on a un point M, on vous dit tracer la tangente. Je considère le point A. La tangente, je ne peux pas la tracer comme ça. Je vais considérer le point A, qui est pour... Oups, c'est un autre exercice. Je vais considérer le point A, qui est pour abscisse 2M sur l'axe OX. B, qui est pour ordonnée 2A sur M sur OY. Et ensuite, je trace. Je trace à droite AB. Et je vais voir qu'elle passe par M, ça me fait une tangente. C'est fini. Donc un très bel exodo, pas mal de géométrie. Posez des questions si nécessaire. Et je vous dis à la prochaine!

Hyperbole et construction géométrique

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