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Dérivation : variations de fonctions

Dans cet exercice, on cherche à trouver l'abscisse d'un point a où un triangle OMN formé par une parabole est de valeur minimale. Pour cela, il faut d'abord déterminer les coordonnées des points M et N, puis calculer l'aire du triangle OMN en fonction de A. En étudiant la fonction obtenue, on applique la méthode des équations de bicarré pour trouver la valeur de A qui minimise cette aire. Cette méthode requiert une bonne connaissance des polynômes et de la dérivation. Il est donc primordial d'avoir une maîtrise des fondamentaux en maths avant de se lancer dans des exercices plus complexes. La réponse finale est que l'aire du triangle est minimale pour A égal à la racine de 3 sur 3.

Dans les exercices les plus difficiles, on a souvent vu qu'on se retrouvait à avoir un peu de géométrie dans l'exo. Là, ça va être exactement le cas de cet exercice-là. L'idée, c'est vraiment qu'on arrive à un niveau d'exo où vous n'êtes plus du tout terrifié par la dérivation. C'est-à-dire que la dérivation devient un outil que vous maîtrisez, et ensuite tout votre cerveau va être pris à analyser la situation, la comprendre, et savoir comment dérouler les étapes et les résoudre. Donc ça demande un certain niveau de maîtrise. Si vous vous sentez un peu paumé, moi je vous conseille d'aller revoir des vidéos de méthodes plus faciles pour vous entraîner. Et une fois que vous êtes très très bon sur les méthodes basiques, les petits calculs de dérivés, connaître par cœur vos formules, vous arrivez sur un exo comme ça, vous ne connaissez pas par cœur vos formules, ça ne sert à rien, vous n'avez pas les fondations nécessaires pour l'attaquer. Donc allez retrouver les méthodes plus simples, révisez bien votre cours, et ensuite vous allez voir, moi je vous explique dans ce genre de vidéos, comment utiliser ces briques fondamentales dans un exercice justement beaucoup plus ouvert, et qui ressemble plus au genre d'initiatives qu'on attend de vous en prépa ou dans le supérieur. La prépa ce n'est pas que des calculs fous, c'est beaucoup, ce n'est pas que des calculs de dizaines de pages et tout, il y a un peu de ça bien sûr, mais c'est beaucoup beaucoup d'initiatives et de voir comment vous prenez les décisions au fur et à mesure. Alors, soit f définie par 1-x², donc une fonction parabole simple. On prend a un point d'abscisse petit a entre 0 et 1, donc a va parcourir ce bout de parabole là entre 0 et 1. La tangente acf au point a coupe les deux axes en deux points. N pour l'axe aux x, M pour l'axe aux y. Pour quel a est-ce qu'on a un triangle ici de valeur minimale? Toujours, quand on a un exercice comme ça, ce que j'adore faire, ce qui est très important, c'est les cas extrêmes. Donc qu'est-ce qu'on peut regarder? Cas extrêmes, quand a vaut 1, on sera ici, on aura un triangle assez balèze, l'air de rien, assez gros. Ensuite, quand on est ici, on voit qu'il est peut-être plus petit que celui que j'ai montré avant, donc ok, il semble qu'il y ait des valeurs plus faibles quand je me balade en gros à partir d'ici jusqu'à là. Mais ensuite, quand j'arrive là, si je commence à approcher ici, qu'est-ce qu'il va se passer? La tangente va commencer à couper l'axe super long. Donc je commence à avoir des triangles qui sont vraiment balèzes. Et à l'infini, quand je viens coller de plus en plus le point a au point qui est ici, je me retrouve à la fin avec une tangente qui est parallèle. Donc là, j'ai un triangle, ça devient un rectangle infini. Quand mon triangle ne va plus jamais couper l'axe x, tout ce que je vais faire c'est partir à l'infini et avoir une aire infinie. C'est une image, mais c'est l'idée. Le triangle devient infiniment grand quand je ne suis plus très loin. Donc ça me va. Je vois que là c'est très grand, ça a tendance à avoir l'air de diminuer quand je suis ici, puis ça repart dans des trucs super grands. L'idée d'un minimum ne me choque pas. Voilà. J'aime bien interpréter ça comme ça. Analysons un peu. Donc on a un triangle OMN. L'air c'est simple, c'est OM x ON sur 2. On va chercher les coordonnées de M, coordonnées de N. On a fait un exercice avec une hyperbole il n'y a pas longtemps, qui était un peu... Enfin, vous pouvez regarder une autre vidéo qui est un peu du même délire. Il faut trouver les points d'intersection d'une tangente avec les axes. C'est pesable. On fait rapidement la tangente. f' de A x-A plus f' de A. Je le remplace par f' de A. f' de x c'est très simple, c'est moins 2x. Ça fait moins 2A x-A plus 1-A2. Vous simplifiez un peu tout ça. Moins 2A x plus A² plus 1. Alors là on ne se trompe pas. On croise OX, O.N. On ne se trompe pas je vous dis, et tout de suite je me trompe. Là ce n'est pas 0XN, c'est XN 0. C'est O.N. Dapsys XN. Dapsys XN est de l'ordonnée 0. Alors là on regarde, c'est quand 0 et le Y vont 0, justement on a également 2A xn etc. On trouve XN ici. Sauf que XN c'est quoi? C'est la distance entre le point O et N. C'est O.N. Donc je trouve XN égal à A² plus 1 sur 2A. Très bien, c'est ce que c'est. TA croise OY en M, 0YM. Donc ici, Dapsys 0 d'ordonnée YM. C'est quand l'ordonnée vaut 0. Je mets 0 dans l'équation qui est ici. Tout bêtement. Et ça me donne YM égal A² plus 1. Ça c'est OM. Donc étude maintenant. Maintenant qu'on a posé un peu les bases, l'expression en fonction de A de chacun des termes, on peut étudier la fonction R. La fonction R c'est quoi? 1 demi de O.N. x OM. Je me rends compte que c'est 1 demi de A² plus 1 x A² plus 1. Le tout sur 2A. Et si je développe ce truc là, ça fait 1 sur 4A. A puissance 4 plus 2A2 plus 1. Ce qui fait que quand je simplifie par A, parce que j'ai dans l'idée de dériver d'arrière, au lieu de faire du U' V moins V' U², au lieu de dériver un quotient, c'est beaucoup plus simple de dériver A³ plus 2A plus 1 sur A. Astuce. Quand j'ai l'occasion de faire, je fais. Pour A entre 0 et 1, je dérive. Ça ça devient 3A2, ça ça devient 2. 1 sur A devient moins 1 sur A². Tout ça c'est assez fluide, donc là je vais un peu vite peut-être. Mais c'est vraiment, j'écris, j'ai compris, j'ai résolu quel était le point ici, quel était le point ici, je multiplie les deux distances entre elles. En soi c'est facile à dériver, ça devient du A3 d'ailleurs. Donc voilà. Vous trouvez ça. Si je mets tout au même dénominateur, pour pouvoir gérer un peu le signe de cette dérivée, parce que mon but c'est de trouver un tableau de signes, je mets tout au même dénominateur et je me retrouve avec un espèce de polynôme de A², dont A² serait l'inconnu. Et donc là j'appelle à moi mes souvenirs de cours sur le polynôme du second degré. Et qu'est-ce que je reconnais? Une équation, il y a du A4, du A², et il n'y a ni A³, ni A. Donc en fait c'est quelque chose de, si je pose un grand X égale A², je vais retrouver une structure de polynôme de 2°2 derrière. On appelle ça les polynômes, les équations pardon, équations de bicarré. Allez voir dans le chapitre sur les polynômes, il y a un exercice, une méthode entière là-dessus. On va le refaire en soi, revoir la vidéo si besoin. On reconnaît une équation de bicarré. Si je pose X égale A², j'ai P2X égale 3X2 plus 2X moins 1. Là, nul besoin de faire un delta, je reconnais tout de suite une racine évidente, en tout cas j'espère vous, sinon vous faites le delta, ça marche aussi. Racine évidente, moins 1, parce que 3 fois moins 1 au carré ça fait 3, moins 2 moins 1 ça fait 0. Moins 1 étant racine évidente, je sais ensuite que le produit des deux racines vaut C sur A, moins 1 tiers, comme j'ai moins 1 comme racine, le produit des deux racines qui fait moins 1 tiers, l'autre racine fait 1 tiers. J'ai allé un peu vite, mais ça pour moi c'est maîtriser quoi. Vous arrivez là, normalement on fait des exercices bien difficiles de dérivation, vous êtes là, vous maîtrisez votre chapitre des polynômes. Si ce n'est pas le cas, bien sûr allez revoir, il n'y a pas de problème. On trouve donc P2x égale, je factorise par A, fois x moins la première racine, moins 1, x moins la deuxième racine, 1 tiers. Ça donne ça. Donc j'ai A prime de A, pardon, qui donne ce truc là. Je vais étudier son signe, ça c'est positif tout le temps, ça aussi. Donc le signe va dépendre uniquement de A carré moins 1 tiers. Or, moi j'ai A qui est positif, donc je vais pouvoir dire que la dérivée est positive ou nulle, si ça c'est positif ou nul, donc si A carré est plus grand qu'un tiers, il n'y a pas d'histoire de moins racine de 3 sur 3 ici, parce qu'on sait que A est entre 0 et 1. Donc ça va être la condition unique que A soit plus grand ou égal à racine de 3 sur 3. On approche de la fin, là j'ai commencé à avoir ma réponse. Je peux faire un petit tableau. En 0, c'est interdit. On a vu que par la fonction, vu que je divise par 0, je ne peux pas définir le truc en 0. Puis on avait vu intuitivement qu'en 0, on approchait d'un comportement bizarre où il n'y a plus de triangle, un espèce de rectangle avec une R infinie. Donc voilà, ça ne marche pas. Et on obtient quoi? Une R minimale pour A égale racine de 3 sur 3. Je vois que l'R, si au début on part du truc quasiment infini, on voit que quand je déplace mon point A avec une abscisse entre 0 et racine de 3 sur 3, l'R diminue. Puis il y a un moment où je commence à remonter de l'autre côté à partir d'un certain moment, le moment de minimum, où là j'ai un grand triangle, un moment où ça diminue et un moment où ça recommence à monter. Donc j'ai bien un minimum. Ça repart de plus belle ensuite. Et ça va jusqu'à d'ailleurs une R1, si on peut calculer, ça fait 1 fois 1 les côtés sur 2. Ou 1 fois 2 sur 2, je ne sais plus. On a un minimum. Conclusion, l'R est minimum pour A égale racine de 3 sur 3. Combien elle vaut? Ça je ne sais pas, on ne vous le demande pas. On vous dit pour quel A. Voilà la réponse. Donc ce n'est pas évident, évident, mais ça se fait bien. Il faut poser, bien interpréter l'énoncé, comprendre qu'on veut les coordonnées de M et N, on les trouve, on calcule l'R. On ne se laisse pas avoir par les calculs, on voit comment... Alors il y a deux trucs. Ici on dérive en ayant utilisé A3 plus 2A plus 1 sur A, mais ensuite on remet au même dénominateur pour pouvoir étudier le signe de la fonction grand A. C'est la petite difficulté. On reconnaît un bicarré, donc il faut une bonne culture G quand même, il faut bien maîtriser toutes ces méthodes. Et ça roule tout seul derrière. Ça roule tout seul. Une fois que vous avez les fondations, je vous encourage à les avoir, à bien apprendre votre cours, bien apprendre vos méthodes classiques. Et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Posez bien sûr des questions en commentaire si vous en avez. Discutez, ou si vous avez même une solution plus élégante et plus rapide, je suis preneur. Je vous dis à toutes, à la prochaine. Bye bye.

Parabole, équation bicarré et géométrie

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