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Géométrie dans un Repère

Ce cours explique comment trouver les coordonnées d'un projeté orthogonal en utilisant les vecteurs normaux. Il s'agit de trouver la distance la plus courte entre un point T et une droite en traçant une droite orthogonale, et ensuite trouver les coordonnées du point H. Pour cela, il faut trouver une équation de la droite HT avec un vecteur normal de la droite initiale. Ensuite, on résout un petit système pour trouver les coordonnées du point H en utilisant l'appartenance du point aux deux droites. Les coordonnées du point H sont alors 45 treizième et moins 30 treizième dans l'autre sens.

Quelque chose de très classique qui doit faire partie des points de cours un peu de base, c'est comment trouver les coordonnées d'un projeté orthogonal en utilisant ce qu'on sait sur les vecteurs normaux. Je vous fais la situation de manière sans repères ni rien, mais la situation un peu générale. On a une droite avec une certaine équation, on a un point T qui est fondi, on dit trouver les coordonnées du point H. Le point H c'est quoi? C'est le projeté orthogonal. C'est-à-dire qu'il faut prendre la distance la plus courte entre le point T et la droite, donc par exemple pas celle-ci ni celle-ci. La distance la plus courte c'est celle qui est le long d'une droite orthogonale à la droite. Il faut dire qu'une fois qu'on a trouvé ça, cette distance la plus courte, on pose un point H projeté et on va essayer de trouver ses coordonnées. L'idée c'est que le point H appartient à la droite initiale et il appartient aussi à la droite orthogonale à la droite initiale. Donc étape 1, trouver une équation de la droite HT. HT a pour vecteur normal le vecteur directeur de la droite initiale. La droite initiale c'est celle-ci. Un vecteur directeur de la droite verte sera un vecteur normal de cette droite-là. Pourquoi? Parce qu'il y a un angle droit. Elle a pour vecteur normal un vecteur directeur que je vais appeler vd de la droite d. Quel est un vecteur directeur de d? Or, on a d, la droite, qui s'écrit 2 tiers de x moins y plus 5, égal 0. Un vecteur directeur petit u de d serait moins b a, donc moins le coefficient devant le y, c'est à dire 1 à le coefficient devant le x, 2 tiers. On sait donc que 1 2 tiers est normal pour la droite HT. Donc HT a pour équation 1 fois x plus a x plus b y 2 tiers de y plus c, égal 0. On applique la méthode qu'on a vue précédemment. On a un vecteur normal, on balance l'écriture en ax plus by plus c et on va trouver c comment? En utilisant un des points de la droite HT. L'idéal c'est d'utiliser le point qu'on connaît, c'est à dire le point t. Avec t, on obtient alors quelles sont les coordonnées t? C'est moins 2, 3. 1 fois moins 2 plus 2 tiers fois 3 plus c égal 0 soit ça fait c égal 2 moins 2 c égal 0. Parfait. On obtient donc HT d'équation x plus 2 tiers de y égal 0. Ça c'est la première étape. Maintenant nous on se dit, ok j'ai la droite normale HT. Deuxième étape, trouver les coordonnées du point H. Le point H est défini par son appartenance aux deux droites. La droite HT, la droite D. On va donc résoudre un petit système. On va chercher le point H d'axis xH dans le nom YH. Il appartient à la droite D et je mets le symbole et comme ça et à la droite HT si et seulement si. On vérifie à la fois. Donc les deux équations. 2 tiers de x plus 5 égal y et enfin l'autre équation qui est 2 tiers de yH plus xH égal 0. Pour résoudre ça c'est pas trop compliqué. On écrit si et seulement si avec la deuxième équation. On peut trouver xH égal moins 2 tiers de yH et on met ça là haut. En utilisant ça, ça donne yH égal 2 tiers de xH donc ça fait 2 tiers fois moins 2 tiers de yH donc ça fait moins 4 sur 9 yH plus 5 et enfin je résouds ça si et seulement si. Je peux résoudre pour yH dans l'équation là haut. Ça fait 1 plus 4 neuvième ça fait donc 13 sur 9 yH égal 5 et donc si je résous un peu vite 13 neuvième de yH égal 5 donc yH 13 neuvième égal 5 ça fait 45 sur 13 45 treizième alors que xH vaudra moins 2 tiers de ça ce qui fait donc quand on divise par 3 45 ça fait 15 fois 2 ça fait moins 30 moins 30, 13ème. C'est assez moche comme résultat mais c'est pas grave, l'importance c'est d'avoir trouvé le résultat final. On vous dit donc le point, vous devez conclure on a trouvé le seul point qui est donc à la fois sur la droite HT perpendiculaire à la droite D il a pour coordonnées deuxième étape résolution du système, il a pour coordonnées 45 treizième moins 30 treizième dans l'autre sens xH yH. Dites moi si vous avez des questions et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye!

Trouver un projeté orthogonal

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