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Géométrie dans un Repère

Ce cours traite des cercles en géométrie repérée. Un cercle est défini comme l'ensemble des points à une distance fixe d'un point central. Ainsi, un point M appartient au cercle de centre O et de rayon R si et seulement si la distance entre O et M est égale à R. L'équation d'un cercle est alors exprimée comme (X-A)² + (Y-B)² = R². Le cours explique comment trouver l'équation cartésienne d'un cercle à partir de son centre et de son rayon, et donne un exemple. Il est important de retenir cette définition pour pouvoir appliquer la méthode dans des problèmes similaires.

Deuxième grand chantier de ce chapitre sur la géométrie repérée, les cercles. On a vu les droites d'un côté avec l'équation cartésienne, maintenant on va regarder les cercles. Donc première intuition quand vous avez une figure là ici, l'idée derrière l'équation qui va venir c'est de comprendre qu'on peut définir un cercle de la manière suivante. Un cercle c'est l'ensemble des points qui sont à une distance donnée d'un autre point. Donc si on prend le point centre, donc j'ai appelé ça grand-oméga à la laine grecque, si on prend ce point là et qu'on cherche tous les points qui sont à une distance disons, je sais pas, 2 de ce point là, hop, il y en aura un ici, un ici, un ici, un ici, il n'y en aura pas un ici parce que ça la distance est plus grande que 2, il n'y aura pas non plus celui-ci parce que la distance est plus petite que 2. Et on comprend assez vite que si on prend tous les points qui sont à une distance 2, et bien ça nous fait un cercle. Et donc réciproquement ce qu'on va dire c'est que un point grand M quelconque d'ordonnée Y-Abscisse X, va appartenir au cercle de centre grand-oméga de coordonnée AB et de rayon grand R, si et seulement si la distance entre grand-oméga et M vaut R. Donc si justement M est un de ces points dont on parlait tout à l'heure qui est à une distance fixe de grand-oméga. Donc si et seulement si grand-oméga M égal R, on sait dans la définition qu'on a vue je pense en troisième, dans la définition d'une distance entre deux points dans le plan, qu'il y a une grosse racine carré, donc on met tout ça au carré, donc on a donc OMGM² égale R², on a le droit d'avoir un si et seulement si ici parce que tout est positif, et bien ça on le traduit avec la formule de troisième, ça veut dire, comme on a les coordonnées de grand-oméga et les coordonnées de M, X-A² plus Y-B² égale R². Donc c'est à la fois une démonstration si vous voulez, et une définition de l'équation d'un cercle, il faut la connaître par cœur, vraiment par cœur de chez Parker. Il y aura deux choses à faire, des fois on vous demandera, comme ici, trouver une équation cartésienne à partir d'un point et d'un rayon, et d'autres fois on va vous filer, donc ça sera une autre vidéo, on va vous filer une équation et il faudra trouver ou déterminer le fait que c'est un cercle, ou pas un cercle. Donc faisons ça ici, déterminer une équation cartésienne, c'est un exemple d'illustration tout de suite, on vous donne un cercle de centre D et de rayon de racine de 3, on applique la définition qui est ici, on va dire grand M, X, Y, appartient à cercle de centre D et de rayon de racine de 3, si et seulement si, X-2, alors c'est quoi? X-2 au carré, je remplace A ici par le A, l'abscisse du point, du centre, plus Y moins l'ordonnée, donc moins moins 1, ça fera plus 1 au carré, égale le rayon au carré. C'est parti, c'est donc fini. Si et seulement si, X plus 2 au carré plus Y plus 1 au carré, égale, ça au carré ça fait 4 fois 3, 12. Voilà l'application directe. Si on vous dit voilà un centre, voilà un rayon, quelle est l'équation du cercle qui correspond? Chaque M sur le cercle a son X et son Y qui vérifie la relation suivante. Application directe, retenez bien par cœur cette définition, et je vous retrouve dans la prochaine vidéo. Bye, bye.

Point 2 : équation d'un cercle

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