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Géométrie dans un Repère

La méthode du cercle consiste à partir d'une équation développée pour retrouver un cercle. Pour cela, il est nécessaire d'avoir le même coefficient devant x² et y². Si c'est le cas, on utilise l'identité remarquable pour obtenir une forme canonique. On résout ensuite pour obtenir l'équation du cercle et les coordonnées de son centre et de son rayon. Cependant, avoir le même coefficient n'est pas une condition suffisante pour avoir un cercle, parfois c'est un point. Donc il faut être vigilant. En résumé, pour trouver le cercle à partir d'une équation complexe, il faut rechercher le même coefficient devant x² et y², puis utiliser l'identité remarquable et la forme canonique pour retrouver l'équation du cercle.

La grande méthode sur les cercles, c'est ce qu'on va faire ici. On vient de voir comment à partir d'un rayon et d'un centre, comment écrire une équation de cercles bien factorisée, bien jolie. La grande difficulté en première sur ce chapitre, c'est quand on vous donne une équation complètement développée et qu'on vous demande de retrouver potentiellement le cercle qu'il y a derrière. Selon que des fois, ça ne peut pas être un cercle. Mais l'idée c'est de retrouver une forme un peu comme dans le cours, comme ça, à partir de ça. Si on arrive à partir d'une équation complètement développée à retrouver quelque chose qui ressemble à ça, on pourra conclure que cet ensemble de points est bien un cercle. Donc une condition nécessaire, et je dis bien nécessaire, ça ne veut pas dire suffisante. Il ne suffit pas d'avoir ce que je vais dire ici pour que l'équation représente un cercle. Une condition vraiment nécessaire, c'est d'avoir devant le x2 et devant le y2, uniquement ces deux termes là, le même coefficient. Si vous n'avez pas le même coefficient, ce n'est pas un cercle. Ensuite le problème c'est que c'est possible d'avoir le même coefficient et pourtant de ne pas avoir un cercle. Mais en tout cas c'est vraiment nécessaire, c'est à dire que s'il n'y a pas ça, c'est mort. S'il y a cette condition qui est vérifiée, alors vous avez une chance de trouver un cercle. Voilà l'idée. Donc ça c'est le premier truc, si on voit un exo où il n'y a pas le même point, s'il y a 3 et 3 c'est ok, s'il y a 2 et 3, ce n'est pas un cercle. Ce n'est pas quelque chose que vous pouvez balancer comme ça à l'écrit, mais au moins sachez-le, comme ça, ça peut vous aider à avoir un peu de retul et à savoir à l'avance où vous allez. Donc là, même coefficient devant le x2 et le y2, c'est possible que ce soit un cercle. Le candidat cercle est encore dans la course. Donc là toute la technique c'est juste de se dire comment je vais faire pour partir de cette expression complètement développée pour obtenir un machin qui ressemble à ça. Si vous regardez bien, ça par rapport à ça, c'est un peu une forme canonique. C'est en fait un retour sur ce qu'on a fait dans le chapitre sur les paraboles. Et on va faire ça en deux temps, donc on va regarder les termes en x, puis les termes en y et se dire comment est-ce qu'on factorise ça pour avoir quelque chose qui ressemble plus à l'équation qu'on recherche. On commence, on écrit x2 plus 2x égale, et on reconnaît le début du développement d'un carré parfait. Donc vraiment ce qu'on faisait avec les formes canoniques, ça ressemble à x2 plus 2x plus 1, donc x plus 1 au carré. Sauf que là il manque plus 1, donc je fais moins 1 ici. De la même manière j'ai y2 moins 8y, ça ressemble à y moins 4 au carré. Alors moins 4 au carré, il y aura un plus 16 que je compense ici, parce que là dedans il y a un plus 16 que je compense pour bien retrouver juste les deux premiers termes. Une fois que j'ai ça, je peux dire que l'équation x2 plus 2x plus y2 moins 8y égale 17 se transforme en x plus 1 au carré moins 1 plus y moins 4 au carré moins 16 égale 17. Là je me retrouve avec moins 1 moins 16, ça fait en l'occurrence moins 17, qui va aller de l'autre côté, ça me donne x plus 1 au carré plus y moins 4 au carré égale 17 plus 17, 34. Et là j'ai la forme canonique, enfin typique de l'équation d'un cercle, et je peux dire que ça c'est l'équation du cercle C. Deux centres, je lis les coordonnées du centre, comme j'ai vu dans le cours, les coordonnées du centre ce seraient A et B. Ici A ce serait moins moins 1, donc c'est moins 1. Et d'abcisse moins 1 du point, en gros centre d'abcisse moins 1, je dois en donner 4. Et deux rayons, donc ça par définition c'est racine de 34 le tout au carré, ça c'est bien R au carré, deux rayons racine de 34. Voilà comment on fait pour faire l'opération dans l'autre sens, non pas je donne un centre et un rayon pour trouver l'équation, mais je donne une équation, vous voyez s'il n'y a pas un cercle qui se cache derrière. Voilà comment on fait. Je disais bien que c'est une condition nécessaire. Petit contre exemple que j'ai rédigé vite fait, pourquoi est-ce que ce n'est pas une condition suffisante? En fait il y a d'autres exemples, genre celui-ci, où en effet on a bien le même coefficient devant x et y, mais à la fin ce ne sera pas vraiment un cercle. Donc par exemple ici je fais le même travail, x2 moins 2x, y2 plus 6y je les transforme chacun en forme canonique, donc x2 moins 2x, il y a l'x moins 1 au carré moins 1, x2 plus 6y je reconnais y plus 3 au carré moins 9, même travail que précédemment. Je remplace tout ça dans l'équation, et j'obtiens x moins 1 au carré plus y plus 3 au carré moins 1 moins 9, ça fait moins 10, plus 10 égal à 0. Moins 10 plus 10 ça dégage. Donc qu'est-ce que je retrouve? Je me retrouve en effet avec une équation qui ressemble à une équation de cercle. x moins 1 au carré plus y plus 3 au carré, je me dis que c'est un cercle de centre 1 moins 3 et de rayon 0. Rayon 0, ce n'est pas faux, c'est un cercle qui a un rayon tellement petit qu'il est réduit à son centre. Donc la solution de cet ensemble de points, ce n'est pas vraiment un cercle. Par contre si on peut dire qu'un point est un cercle de rayon 0, c'est juste le point, le seul point qui vérifie cette équation c'est 1 moins 3. Donc ce n'est pas parce que vous avez le même coefficient que vous allez trouver un beau cercle derrière, c'est possible de trouver par exemple un point. Voilà, en tout cas la méthode à retenir vraiment par cœur et à savoir refaire à fond, c'est savoir gérer l'identité remarquable et toute la méthode déjà vue durant le chapitre sur les polynômes de forme kinétique. J'espère que ça vous a fait un bon petit rappel là-dessus, que c'était assez clair, posez des questions si besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

CAPITAL : savoir reconnaître et factoriser l'équation d'un cercle

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