Home

Première

Maths

Géométrie

Géométrie dans un Repère

Cet exercice porte sur l'étude du cercle circonscrit d'un triangle et demande de déterminer une équation cartésienne pour les médiatrices AB et AC, ainsi que les coordonnées du point O, le centre du cercle. Pour cela, on utilise les définitions de collège et les vecteurs normaux pour les médiatrices, puis résoudre un système d'équations pour trouver les coordonnées de O. Ensuite, on calcule la longueur OA et utilise cette valeur pour définir une équation cartésienne pour un cercle de rayon OA et de centre O. En vérifiant que ce cercle passe bien par les points B et C, on démontre que O est le centre du cercle circonscrit. Bien que l'exercice demande des calculs et des méthodes, cela peut être facilement maîtrisé en ayant une bonne compréhension des leçons précédentes.

Voici un exercice qui n'est pas facile parce qu'il demande pas mal de calculs et pas mal d'applications, de méthodes. Mais en fait, si vous maîtrisez tout ce qu'on a déjà couvert dans les vidéos précédentes, ça va aller tout seul parce qu'il n'y a rien de vraiment nouveau. Donc on vous dit, en gros là, l'étude de cet exo, ça va être le cercle circonscrit. Donc rappelez-vous, le cercle circonscrit, votre définition de collège, c'est le centre du cercle circonscrit pour un triangle, et le point de rencontre des médiatrices des côtés. Donc on commence par vous dire, voilà 3 points, questions 1 et 2, déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de AB et ensuite de la médiatrice du segment AC. J'ai fait une petite figure, on a A, B, C, un triangle que j'ai fait le plus quelconque possible. Tout de suite, dès le début, je nomme I et J, les milieux des segments AB respectivement et AC. Donc on trouve que I et J sont les points de coordonnées 3, 4 et 1, 2. Vous prenez juste la moyenne des coordonnées de A et B pour I et de A et C pour J. Donc ça c'est assez facile. Ensuite, questions 1 et 2 vont être très similaires. Honnêtement, j'ai quasiment copié-collé les résultats. On vous dit, trouvez une équation cartésienne de la médiatrice. Une fois que vous avez le milieu I, vous allez utiliser le fait que AB est un vecteur normal pour la médiatrice D1. Parce que par définition, ici, il y a un petit angle droit. Ici aussi, d'ailleurs. Et on va faire la même chose ensuite, en utilisant AC comme vecteur normal à la médiatrice D2. J'ai appelé D1 et D2 les droites. Donc AB, je calcule le vecteur, c'est (-2, 4). Il est normal à D1, donc cette médiatrice. Donc, première étape, je peux dire que D1 s'écrit (-2, x, 4, y), en utilisant ça. AB, les coordonnées, sous les abb, les coordonnées du vecteur normal, plus C égal 0. Or, je sais que I est sur la droite, donc je peux dire que grâce à ça, je remplace par les coordonnées de I dans l'équation. Je trouve C égal à moins 10. Je simplifie et j'obtiens D1, (-x, 2y), moins 5, égal 0. Très bien. La médiatrice, l'équation de la médiatrice D1. La médiatrice D2, je fais exactement le même processus. J'utilise AC. Cette fois-ci, AC, c'est (-2, 4), donc moins 6, 2 moins 2, 0. C'est un vecteur beaucoup plus simple. Moins 6, 0 est normal à D2. Ah oui, par définition, ce vecteur est bien orthogonal à D2. Donc, j'obtiens une équation très facile, où il y a ce terme-là qui dégage. C'est une équation x égale quelque chose, donc une droite verticale dans le plan. Comme J appartient à la droite, je peux trouver qu'avec les coordonnées de J, C égal 6. J'obtiens donc, moins 6, plus 6, égal 0, x égale 1 comme équation. On vous dit ensuite, trouver les coordonnées du point O. C'est facile, on dit O appartient à D1 et D2, donc on résout un petit système d'équations. Ce qu'on fait, c'est dire, soit x, 0, y, 0, les coordonnées de O. Ça appartient aux deux droites, si et seulement si. On respecte à la fois la première équation, celle de cette droite-là, et à la fois la deuxième. La deuxième étant super simple, je trouve la solution très vite. x, 0, égal 1, y, 0, égal 3. Qu'est-ce qu'on vous fait si on prend un peu de recul avant de continuer? On vous dit, il y a une médiatrice, une médiatrice, et un centre des médiatrices. On va vous faire ensuite calculer la longueur OA. Si on réfléchit, la question 4, on vous fait calculer un rayon, un futur rayon de cercle. Donc on va définir un cercle, le centre O de rayon OA, le cercle rouge ici. Et la dernière question, on va vous faire vérifier, est-ce que ce cercle passe bien par B et C également? On verra que oui, et donc on aura bien redémontré le fait que le croisement des médiatrices, le point O, est bien le centre du cercle circonscrit. Vu qu'on a pris le cercle de rayon OA et qu'on voit ensuite qu'il passe par B et C, on a bien un cercle qui passe par les trois points. Voyons ce que ça donne pour les calculs. Là, c'était la démarche que j'ai voulu prendre du recul encore une fois. OA², c'est très facile, vous avez les coordonnées de O, vous avez les coordonnées de A, vous trouvez 10, donc vous trouvez que OA vaut racine de 10, vous trouvez 10 pour son carré. Petit 5, vous balancez votre cours. Équation cartogène d'un cercle de centre O de rayon OA, rayon OA, racine de 10, O, on l'a ici, on balance. X-1 plus Y-3² égale 10, le rayon au carré. Tout ce qu'il y a à faire ensuite dans la dernière question, c'est vérifier que le cercle passe bien par B et C. On prend les coordonnées de B, on les met dans cette équation. 2-1 plus 6-3, on trouve 10, c'est OK. Quand vous avez trouvé 10, vous savez que c'est OK parce que c'est l'équation du cercle. Ensuite, je prends les équations de C, je les mets dans cette partie de l'équation, je calcule, ça fait bien 10, c'est bon, C est bien sur le cercle. J'ai donc vérifié que j'ai trouvé le point O, le croisement des deux médiatrices, j'ai pris le cercle de rayon OA, je vérifie bien que B et C sont dessus, j'ai bien montré que O est le centre du cercle qui passe par les 3 sommets, c'est donc le centre du cercle circonscrit. Posez des questions s'il y a besoin, c'est une application pas trop complexe. Je vous retrouve dans une prochaine vidéo et courage pour tout!

Retrouver le centre d'un cercle circonscrit

RELATED

Recommended videos

Point 1 : définition vecteur normal

Trouver une droite à partir d'un vecteur normal

Utiliser vecteur directeur ET vecteur normal