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Géométrie dans un Repère

Dans cet exercice, on utilise les cercles pour calculer les distances et la nature du triangle. Le cercle de centre A a un rayon de 3 et le cercle de centre B un rayon de 4. La première question consiste à calculer la distance AB, qui est de 5, pour montrer que les deux cercles sont séquents. La deuxième question demande de donner les équations cartésiennes, qui sont simplement appliquées à partir des données du cercle. La troisième question demande de montrer que le point C appartient aux deux cercles, ce qui est vérifié en remplaçant les coordonnées de C dans les équations. Enfin, la quatrième question demande de déduire la nature du triangle ABC. En utilisant la relation de Pythagore, on montre que le triangle est rectangle et de mesure 3-4-5. Il est important de comprendre les questions et l'exercice dans son ensemble pour réussir.

Dans cet exercice, on va appliquer ce qu'on a appris sur les cercles dans un contexte assez particulier. Mon but ici c'est surtout de vous montrer encore une fois comment un peu dominer l'exercice, comment ne pas subir chacune des questions et avoir une bonne vision d'ensemble. La technique pour ça c'est lire un peu toutes les questions et de comprendre ce qu'implique chaque résultat pour avoir la vision globale. Donc on vous dit, on considère un cercle de centre A de rayon 3, donc je l'ai fait ici pas à l'échelle, un cercle de centre B de rayon 4, ok, calculer la distance AB, donc la première question on va calculer une distance, ça va être simple, en déduire que les deux cercles sont séquents. Ah, donc apparemment ce qu'on va montrer c'est qu'on a une situation plutôt comme ça. Donc séquents c'est ça. Question 2, donner les équations cartésiennes. Ça se fera tout seul, c'est le cours en application directe. Question 3, on vous dit, montrez que le point C appartient aux deux cercles. C'est à dire que le point C sera un des deux points là où les cercles se rencontrent, par exemple celui-ci. Question 4, en déduire la nature du triangle ABC. Ça c'est intéressant, ça veut dire qu'en fait j'aurai un triangle qui sera celui-ci, et on me dit, en déduire sa nature. Moi je vois tout de suite, vu que là j'ai un rayon 3, là un rayon 4, encore une fois pas à l'échelle, clairement AB sera plus grand, et en fait je sais qu'il ne sera pas isocèle. De fait il n'est pas possible qu'il soit isocèle, il ne risque pas d'être équilatéral non plus. Ça veut dire qu'on sent, le dernier cas qui nous reste, c'est qu'il sera peut-être rectangle. J'abuse un peu sur la figure, mais on sait que si C est là, on aura un rayon 3, si C est aussi sur le cercle d'à côté, on a un rayon 4. Un triangle rectangle très connu, qui tombe tout le temps dans les exercices depuis la 3ème, c'est le triangle 3-4-5. Donc je peux supposer que la question 4, je dirais, bah oui c'est un triangle rectangle, et en effet de mesure 3-4-5. 3 et 4, car ce sont les rayons, et C appartenant au cercle, on sait que ça c'est un rayon, et ça c'est un rayon de l'autre côté. On va voir tout ça, et on va le faire, on va faire la mesure. Donc voilà, là en gros, cette minute que j'ai passée avec vous là-dessus, c'est un peu une minute de, je comprends ce qui se passe, je sais que je vais pouvoir faire les questions une par une, après c'est une question de savoir résoudre les petites questions, mais voilà. Calculer la distance AB, on va dire que les deux cercles sont séquents. Donc là j'ai fait l'étude ici. On calcule AB, c'est assez facile, on prend le point A, le point B, on calcule la distance, on fait 1--2²-3-1², ça nous fait 25, AB égal 5. Il faut dire deux choses. Déjà on veut montrer que les cercles sont séquents, c'est-à-dire qu'on veut éviter cette situation. La situation où un cercle est compris dans l'autre. Vu que 5 c'est plus grand que 3, la distance AB, et c'est plus grand que 4, c'est plus grand que les deux rayons, il n'est pas possible qu'on ait cette situation-là. Parce qu'on aurait cette situation ici, la distance entre les deux serait plus petite qu'au moins un des deux rayons. Or là on est au-dessus des deux, donc on peut éliminer cette situation. Donc on n'a pas l'un qui est inscrit dans l'autre, c'est mort. Ensuite, AB c'est plus petit que 3 plus 4. C'est plus petit que la somme des deux rayons. Donc ça veut dire que ce n'est pas possible qu'on sorte d'une situation comme ça. Une situation comme ça, là où on aurait en fait, si ils étaient séparés, la distance entre les deux serait plus grande que les deux rayons. Ici c'est plus petit, donc on sait qu'ils ne sont pas séparés. On sait qu'il n'y en a pas un dans l'autre. Conclusion, ils sont séquents. Donc ça c'était la question de titan. La question de titan 2, on applique juste le cours. Le cercle de centre A de rayon 3, le cercle de centre B de rayon 4. On applique avec les coordonnées de A et de B, et les rayons 3 et 4. Ensuite on vous dit vérifier que C11 appartient aux deux cercles. Qu'est-ce qu'il faut faire pour ça? Il faut juste mettre les coordonnées de C dans chacune des équations. Donc on met 1 ici, 1 ici. Quand on met 1 ici, ça dégage, il ne reste plus que 3², ça fait bien 9. Ça fonctionne, C appartient bien à ce cercle. De la même manière, quand on met 1, 1 ici, ça ça dégage, ça fait 0. 1 plus 3, 16. Au carré, 16. Donc C appartient bien à ce cercle. Donc on peut en conclure, juste par le calcul, là je ne rédige pas trop, mais on peut en conclure que C appartient aux deux, par le calcul. Dernière question. On a vu que la B faisait 5, on l'a calculée, c'est l'intuition qu'on avait, et on l'a montrée dans la question 1, on sait donc qu'il va être rectangle. Il suffit de dire comme AC et BC valent 3 et 4, car C appartient au cercle de centre A et au cercle de centre B, or AB égale 5, on a AC² plus BC², c'est de là, qui vaut 25, AB² qui vaut 25, donc on a la relation de Pythagore par la réciproque du terrain de Pythagore, le triangle et le rectangle en C. Ça va tout seul. Le plus important pour moi, c'était de vous montrer un peu le raisonnement, on peut comprendre où va l'exercice si on se pose un petit peu une minute ou deux au début, et ensuite, bon, ça peut couler tout seul si vous connaissez bien votre cours. Voilà, j'espère que c'était clair. Posez des questions s'il y a besoin. Je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Des cercles sécants !

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