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Géométrie dans un Repère

Le cours traite de la résolution d'une équation qui pourrait potentiellement avoir une forme de cercles. Après avoir étudié les termes impliquant x, l'équation peut être réécrite sous la forme d'un cercle si la quantité a² - 4 est positive stricte. Dans le cas où a² - 4 est égal à zéro, deux points de solution sont trouvés, et s'il est négatif, alors l'ensemble des solutions est vide. En résumé, la solution pour a est un cercle si a est plus grand que 2 ou plus petit que -2, deux points si a est égal à 2 ou -2, et l'ensemble vide pour tout le reste. La clé pour résoudre l'équation est d'appliquer la méthode appropriée, de discuter de la positivité ou de la négativité du rayon, et d'examiner l'existence ou non d'une solution.

Un exercice intéressant, on a une équation potentiellement de cercles, on reconnaît qu'il y a du x2 et du plus y2 ici, avec cette fois-ci un paramètre. On va essayer de gérer un peu cette équation, l'améliorer, et voir s'il est possible d'avoir une équation de cercles, dans certains cas, dans tous les cas, on va bien regarder. On va déjà gérer le x2 plus 2ax, donc les termes ont x, on va voir à quoi ils ressemblent. Donc ça, ça ressemble à du x plus a au carré moins a carré. En effet, ça c'est le début du développement du scale parfait. Donc ça c'est très simple. On a y2 moins 2y égale y moins 1 le tout au carré moins 1. Simple. Je peux donc réécrire l'équation. x plus a au carré plus y moins 1 au carré. Et je mets après toutes les constantes, moins a carré moins 1 plus 5 égale 0. Je réécris encore une fois. Ça fait x plus a au carré plus y moins 1 au carré, donc ça c'est un bon début, égale, moins 1 plus 5 ça fait donc 4, ça fera a carré moins 4. Une fois que j'ai obtenu ça, il y a maintenant une discussion sur cette quantité-là. Là ça ressemble bien au début d'une équation de cercle, on peut dire que ça sera un cercle de centre moins a1, mais ça sera un cercle uniquement si ça c'est positif. Donc on peut dire, si dans a et dans a est un réel, si a carré moins 4 est positif strict, c'est à dire, soit a plus grande 2 ou a plus petit moins 2, soit dans le sens, c'est à dire, alors on a R le rayon qui est égal à racine de a carré moins 4 bien définie. Donc l'ensemble, solution, est un cercle de centre grand oméga de coordonnées moins a1 de rayon racine de a carré moins 4. Donc ça c'est assez facile. Par contre si a carré moins 4 est égal à 0, soit en gros ça c'est a égal 2 ou a égal moins 2, dans ce cas, on a en gros toute cette équation là qui est égale à 0, on a donc deux points solution. Un point a égal 2, on a deux points solution. Les points solution sont moins a1, donc juste le centre, avec a qui peut prendre deux valeurs, c'est donc moins 2, 1, et l'autre point 2, 1. Quand c'est égal à 0, il n'y a qu'un seul point qui peut fonctionner, c'est le point moins a1. Et ensuite vu que a peut prendre deux valeurs, on a deux points solution possible. Enfin, si a carré moins 4 est négatif, l'ensemble solution est l'ensemble vide. Tout simplement parce qu'il n'y a pas de point qui vérifie ce carré plus ce carré égal quelque chose de négatif. Une somme de carrés est toujours positive, c'est très facile. Ensemble vide. Donc on a couvert, ça c'est a appartient à moins 2, 2, l'ensemble des valeurs possibles de a. Quand a est entre moins 2 et 2, pas de solution. Quand a vaut 2 ou moins 2, il y a deux points solution. Enfin, non c'est faux, c'est si a égal 2, excusez moi, si a égal 2, il y a un point solution qui est, ça c'est s a égal 2, et s a égal moins 2, j'ai pas été assez précis quand j'ai fait ça, hop, dans ce cas c'est 2, 1. Voilà, le point solution c'est moins a, 1. Donc voilà, il y a un espace solution si a vaut 2, un espace solution si a vaut moins 2. Il faut bien distinguer tous les cas pour les valeurs de a. Et enfin si a est plus grand que 2 strict ou plus petit que moins 2 strict, l'ensemble devient un cercle. J'espère que c'était clair. C'est un de ces exercices de discussion, on en a vu dans plusieurs chapitres. C'est pas très compliqué, le truc qu'il faut faire c'est tout de suite appliquer la méthode pour voir l'équation bien écrite, puis discuter sur la positivité ou non du rayon, l'existence ou non du rayon. Posez des questions si nécessaire, et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo. A plus!

Un paramètre dans une équation de cercle

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