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Nombres et calculs

Identités remarquables, calcul algébrique

Dans cet exercice, on part d'une fonction f(x) = (x+2)² - 9, et on cherche à la décomposer en forme développée et en forme factorisée. On utilise ensuite ces formes pour calculer f(3), f(√3 - 2), résoudre f(x) = 0 et trouver les antécédents de -5 par f. Pour cela, on utilise principalement la forme canonique et la forme factorisée, et on factorise en identité remarquable. Les antécédents de -5 par f sont 0 et -4.

Salut, bienvenue dans cet exercice. Dans cet exercice, on nous donne une fonction qu'on définit par f de x égale x plus 2 au carré moins 9. Le but va être d'en donner une forme développée, une forme factorisée, afin de répondre le mieux aux questions. On a un calcul à faire, une équation à résoudre, et chercher un antécédent de moins 5 par f. Déjà, on va commencer par donner la forme développée et la forme factorisée, et après on verra quelle forme on utilise pour répondre à chaque question. Donc, la forme développée, c'est la plus simple à faire, on développe. En développant à l'aide de l'identité remarquable, x plus 2 au carré, ça nous fait x carré plus 4x plus 4 moins 9, on recopie, on simplifie un peu le 4 moins 9, ça nous fait moins 5. Donc la forme développée, c'est f de x égale x carré plus 4x moins 5. Ensuite, pour la forme factorisée, il y a généralement deux méthodes pour factoriser quelque chose. Facteur commun et identité remarquable. Là, il faut trouver un facteur commun dans x plus 2 au carré et dans 9. Il n'y en a pas, clairement, parce que les seuls facteurs de 9, c'est 3, enfin, c'est 3 tout seul, parce que c'est 3 fois 3, donc il n'y a que 3. Mais il n'apparaît pas dans x plus 2 au carré. Donc, on va se pencher sur les identités remarquables. Petit rappel d'identité remarquable, on a les trois identités remarquables, donc a plus b au carré, a moins b au carré et a moins b fois a plus b, qui sont les formes factorisées, et les formes développées sont celles-ci. Je ne vais pas les rappeler, elles sont sous les yeux. Le but va être de savoir qu'est-ce qu'on utilise, enfin, quelle forme on utilise pour après l'appliquer. Donc ici, on veut factoriser x plus 2 au carré moins 9. Donc là, il faut essayer de reconnaître une identité remarquable parmi les formes développées qui sont ici. Donc, ce qu'on observe, c'est qu'on a deux termes. Deux termes, c'est l'identité remarquable numéro 3. Parce que là, on a un, deux, trois termes. Un, deux, trois termes et un, deux termes. Donc si on peut factoriser à l'aide d'une identité remarquable, ce sera forcément la numéro 3. Donc, on utilise la numéro 3, donc on va identifier chacun de nos termes, comme a carré et b carré. Donc, on part sur la numéro 3, ça veut dire que x plus 2 au carré, ce sera notre a carré, et 9, ce sera notre b carré. Donc, pas nécessairement, si a carré, c'est x plus 2 au carré, a, c'est x plus 2, si b carré, c'est 9, b, c'est 3. Alors, on pourrait prendre b comme étant moins 3, ça ne change rien dans le résultat final, c'est juste que ça inverse la position des facteurs qu'on trouvera après. Ensuite, on applique ça. Donc, on a identifié notre a et notre b, on a juste à écrire a moins b, facteur de a plus b, et on aura la factorisation. Donc maintenant, on écrit f de x, c'est a moins b, facteur de a plus b. Donc voilà, on a écrit, il n'y a plus qu'à simplifier. x plus 2 moins 3, ça fait x moins 1. x plus 2 plus 3, ça fait x plus 5. Donc maintenant, on a la forme factorisée, tout simplement. Petit rappel pour les avoir sous les yeux, la forme canonique, on ne nous le disait pas que c'était la forme canonique, donc je le précise, mais ce qu'on nous donne dès le début, c'est la forme canonique, x plus 2 au carré moins 9, la forme développée, x carré plus 4x moins 5, et la forme factorisée, x moins 1, facteur de x plus 5. Donc voilà pour les trois formes de la fonction, maintenant on va voir en fonction de ce qu'on nous demande, qu'est-ce qu'on utilise. La première question, c'est calculer f de 3 et f de racine carré de 3 moins 2. Alors, si on veut calculer f de 3, ce qu'on va utiliser, donc là, en réalité, on pourrait un peu toutes les utiliser, mais personnellement, je préfère utiliser la forme canonique, parce que quand on utilise la forme canonique, en fait, on a juste une addition à faire, 3 plus 2, et ensuite un carré, 5 au carré, ce n'est pas très compliqué. Si on utilise cette forme-là, ça veut dire que si on remplace x par 3 là-dedans, il y aura un petit peu plus de calcul à faire, encore une fois, ça irait très vite, il y aurait un peu plus de calcul à faire, et ici, ça irait vite aussi, bon, généralement, calculez l'image d'un nombre, toutes les formes sont adaptées. Je trouve que là, la forme canonique allait assez vite, donc j'ai préféré faire le choix d'utiliser la forme canonique, on aurait pu utiliser, encore une fois, n'importe laquelle, ce serait assez rapide à faire, éventuellement la forme développée un peu plus long que les autres, mais forme canonique et forme factorisée, ce serait à peu près le même temps de calcul. Donc voilà pour f de 3, ça nous fait 16. Ensuite, il faut calculer f de racine carrée de 3, moins 2. Donc là, quand on voit ça, on oublie la forme développée, très clairement, parce que si on remplace là-dedans, ça ne va pas du tout se simplifier, on aura tendance à dire, oui, quand il y a de la racine carrée, ça va être au carré, ça simplifie, alors ça c'est vrai si on voulait calculer juste f de racine de 3, en mettant au carré, ça aurait fait juste 3. Là c'est racine de 3 moins 2, donc si on veut mettre ça au carré, on a une identité remarquable, et du coup on ne se débarrasse pas des racines carrées. Donc là, ce qu'il fallait observer pour celui-ci, c'est que le moins 2, après la racine carrée, il n'est pas choisi au hasard, le moins 2 il est choisi, parce qu'ici on a plus 2. Le fait d'avoir moins 2, plus 2, ça va compenser, en fait, et on aura justement que la racine carrée à avoir au carré, et donc ça va bien se simplifier. Donc c'est ce qu'on fait, f de racine carrée de 3 moins 2, donc racine carrée de 3 moins 2, enfin on remplace x par racine carrée de 3 moins 2 dans la parenthèse, et donc ça nous fait racine carrée de 3 moins 2 plus 2, comme je disais, ça va se simplifier, il ne va rester que racine de 3, au carré, ça nous fait 3, attention, il ne faut pas se mélanger entre 3 au carré et racine de 3 au carré, et donc ça nous fait 3 moins 9, et ça fait moins 6. Et ensuite, résoudre f de x égale 0. Donc ça, pour le coup, f de x égale 0, on passe par la forme factorisée, parce que f de x égale 0 en passant par la forme factorisée, ça nous ramène à un produit de facteur nul, produit de facteur nul, maintenant on sait faire, c'est soit le premier facteur vaut 0, soit le deuxième facteur vaut 0, soit le premier vaut 0, donc ça veut dire x est égal à 1, on résout très rapidement ces équations-là, soit x plus 5 égale 0, encore une fois on résout très rapidement, ça fait x égale moins 5. On a résolu très rapidement grâce à la forme factorisée, l'équation f de x égale 0, et pour terminer, on nous demande de déterminer les antécédents de moins 5 par f. Pour déterminer les antécédents d'un nombre par une fonction, je vais faire un petit rappel, pour trouver les antécédents de k par une fonction f, il faut résoudre l'équation f de x égale k. Ce qu'on a fait juste avant sans qu'on nous le demande, c'est de trouver les antécédents de 0 par f, qui étaient 1 et moins 5. Là, on cherche les antécédents de moins 5, donc il faut résoudre l'équation f de x égale moins 5. Pour résoudre ça, ce qu'on va utiliser c'est la forme développée, parce qu'on a moins 5 ici, encore une fois, le f de x égale moins 5, le moins 5 n'est pas là pour rien, c'est parce qu'il correspond à ça et que ça va bien se simplifier, et qu'on va se retrouver avec ça égale 0 qu'on pourra factoriser. Donc, comme je disais, les moins 5 se simplifient à gauche et à droite, à gauche il reste x carré plus 4x, à droite, il reste 0. Et donc, on a une expression avec du x égale à 0, le réflexe qu'il faut avoir, si on a juste une expression affine, ça veut dire que la plus grande puissance de x est 1, on isole le x, là il y a du x carré. Donc le réflexe à avoir c'est de factoriser, et on se ramène à un produit nul. Donc là, on factorise avec un facteur commun, parce qu'on voit que x est un facteur commun à x carré et à 4x, donc on factorise par x et on se retrouve avec x facteur de x plus 4 est égal à 0, encore une fois, équation produit nul, soit le premier est égal à 0, donc le premier c'est juste x, soit le deuxième, x plus 4 est égal à 0, donc là ça nous fait x égale moins 4. Petite phrase de conclusion. Donc les antécédents de moins 5 par f sont 0 et moins 4, et ça conclut cet exercice.

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