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Identités remarquables, calcul algébrique

Dans cette transcription d'une vidéo, on apprend comment résoudre une équation du second degré en factorisant avec un facteur commun ou une identité remarquable. On montre comment identifier les termes a², 2ab et b² pour utiliser l'identité remarquable numéro 2. On vérifie que la factorisation obtenue est correcte et on résout l'équation obtenue en isolant x. La solution trouvée est x égale à 5 demi.

Salut! Dans cet exercice, on va résoudre une équation du second degré. Alors pour rappel, le second degré, c'est quand le x apparaît à la puissance 2. Alors en première, on aura une méthode un peu toute faite pour résoudre ce genre d'équation, mais pour l'instant, pour résoudre une équation du second degré, on va factoriser à l'aide d'un facteur commun ou d'une identité remarquable. Sauf qu'ici, quand on regarde assez rapidement, on voit que 25, ça va s'écrire comme 5 x 5, donc les potentiels facteurs communs, ce serait seulement 5, mais 5, il n'apparaît pas là, donc en fait, on ne va pas pouvoir factoriser avec un facteur commun. Donc ça, voilà, avec l'habitude, on arrive à le voir assez rapidement. Donc ici, on n'a pas de facteur commun, donc on va partir sur la piste des identités remarquables. Alors un petit rappel des trois identités remarquables, on a la première, la deuxième, la troisième, donc on les a déjà vues. Donc maintenant, ce qu'on veut faire, c'est factoriser du coup 4 x² moins 20 x plus 25, on veut factoriser ça. Donc le premier truc à regarder, c'est qu'on a trois termes. Donc on rappelle, ici on a 1, 2, 3 termes, ici on a 1, 2, 3 termes, et ici on a 1, 2 termes. Donc 3 termes, ça veut dire que c'est soit la numéro 1, soit la numéro 2 qu'on va utiliser, et la différence entre la numéro 1 et la numéro 2, c'est ici que ça se joue. Il y en a une qui a un signe plus, et l'autre qui a un signe moins. Et ici, nous, ce qu'on a, c'est un signe moins, donc le signe moins fait qu'on va utiliser la numéro 2, donc c'est parti. Maintenant, ce qu'on va faire, c'est on va identifier chacun de nos termes comme a², 2ab, et b². Donc là, il n'y a pas forcément de suspense, parce que ça, ça va être a², ça, le signe moins, c'est toujours là où il y a moins 2ab, et l'autre, c'est b². Alors attention, s'ils ne sont pas rangés dans le même ordre, a² et b², on dit qu'ils sont symétriques, parce qu'on aurait très bien pu dire que lui c'est a² et lui c'est b², à la fin, on trouverait le même résultat. Donc du coup, vu que a², c'est 4x², ça veut dire que a, c'est 2x, et vu que b², c'est 25, ça veut dire que b, c'est 5. Alors maintenant, ce n'est pas tout à fait fini, parce qu'il pourrait y avoir des pièges, des fois. Ce qu'on va vérifier, c'est que moins 2ab, avec le a et le b qu'on a ici, on va vérifier que moins 2ab, c'est bien égal à moins 20x. Donc on vérifie, moins 2ab, ça nous fait moins 2 fois 2x fois 5, et ça, ça nous fait bien moins 20x, donc c'est bon, on va pouvoir factoriser. Maintenant qu'on a trouvé comment on va factoriser, on dit que l'équation de départ à résoudre, ça revient à 2x-5² égale à 0, parce qu'on a factorisé tout simplement le 4x² moins 20x plus 25. Et donc là, un petit rappel, quand on a un nombre au carré égal à 0, c'est équivalent à dire que le nombre est égal à 0, parce qu'en fait, il n'y a que 0² qui vaut 0, donc si on a un carré égal à 0, forcément le nombre qu'on a mis au carré, c'est 0. Donc en fait, ce truc-là, ça va revenir à résoudre que 2x-5 est égal à 0, et ça, c'est une équation du premier degré, on sait faire. Donc 2x-5 est égal à 0, on passe le moins 5 de l'autre côté, ça nous fait 2x égale à 5, ensuite on divise par 2, ça nous fait x égale 5 demi. Donc on a trouvé la solution, et la solution de l'équation de départ, c'est-à-dire 4x² moins 20x plus 25 égale à 0, la seule solution, c'est x égale 5 demi.

Détecter une identité remarquable

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