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Variation de la constante
Dans cette vidéo, Maty de studio aborde la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 en utilisant une technique particulière : la méthode de variation de la constante.
Il commence par résoudre une équation donnée : y'y = 1/(1+exp(x)). Il rappelle rapidement comment trouver la solution homogène de l'équation différentielle homogène associée, qui est yh = x*exp(-x). Ensuite, pour trouver une solution particulière, il utilise la méthode de variation de la constante. Il pose une fonction A(x) qui varie et multiplie cette fonction par exp(-x), comme c'était posé initialement. En dérivant cette fonction, il obtient A'(x) = exp(x)/(1+exp(x)). En intégrant cette équation, il trouve que A(x) = ln(1+exp(x)) + C, où C est une constante d'intégration. Comme il a précisé qu'il fallait multiplier par exp(-x) pour obtenir la solution particulière, la solution trouvée est : ysp = exp(-x) * ln(1+exp(x)). La solution générale de l'équation différentielle est donc : y(x) = yh + ysp = x*exp(-x) + exp(-x) * ln(1+exp(x)).
Ensuite, il résout une autre équation donnée : 1+x*y' + y = 1 + ln(1+x)/(1+∞). Il commence par trouver la solution homogène de l'équation différentielle homogène associée, qui est yh = exp(ln(1+x)) = 1+x. Ensuite, pour trouver une solution particulière, il utilise encore la méthode de variation de la constante. Il pose une fonction A(x) qui varie et multiplie cette fonction par (1+x), comme c'était posé initialement. En dérivant cette fonction, il obtient A'(x) = ln(1+x). En intégrant cette équation, il trouve que A(x) = (1+x) * ln(1+x) - x. Comme il a précisé qu'il fallait diviser par (1+x) pour obtenir la solution particulière, la solution trouvée est : ysp = ln(1+x). La solution générale de l'équation différentielle est donc : y(x) = yh + ysp = 1+x + ln(1+x).
Il résout ensuite deux autres équations, en utilisant la même méthode de variation de la constante. Les solutions trouvées sont respectivement : y(x) = x^2/(1+x) et y(x) = exp(x^2 + x)/(1+x).
Enfin, il conclut en expliquant que la méthode de variation de la constante est une méthode importante pour résoudre les équations différentielles d'ordre 1, car elle permet de trouver une solution particulière à tous les coups. Il souligne l'importance de multiplier la solution particulière par le facteur exponentiel correspondant. Il encourage ensuite les spectateurs à résoudre n'importe quelle équation différentielle d'ordre 1 en utilisant cette méthode.
